3.17.1. Теорема Флоке

Обозначим через два линейно-независимых решения уравнения (3.17.2). Тогда за счет периодичности функции, входящей в это уравнение сомножителем перед и, функции также должны быть решениями. Это означает, что можно найти четыре таких коэффициента что

Найдем теперь два частных решения и уравнения (3.17.2), имеющие следующее свойство:

Если переписать их в виде и учесть разложения (3.17.3), то совпадает с если выполнены равенства

В соответствии с этим два собственных значения можно вычислить, потребовав равенства нулю детерминанта однородной системы уравнений (3.17.5).

Рассмотрим вронскиан функций и

С помощью соотношения (3.17.4) нетрудно показать, что Так как вронскиан двух решений волнового уравнения (3.17.2) не зависит от мы имеем

Для завершения доказательства теоремы Флоке представим как

Тогда два линейно-независимых решения запишутся в виде

периодические функции.

В частности, поскольку в рассматриваемом нами случае функция является линейно-независимым по отношению к решением уравнения (3.17.2) и удовлетворяет условию периодичности (3.17.4). Следовательно, она должна совпадать с Таким образом доказана теорема Флоке: любое решение уравнения (3.17.2) можно представить в виде

где — некоторая постоянная.