7.16.2. Теория Вайнилтейна для концентрических и плоскопараллельных резонаторов

Особый интерес представляют плоскопараллельные и концентрические резонаторы. В этих случаях или и ядро уравнения (7.16.5) оказывается сингулярным. Подстановкой уравнение (7.16.4), как нетрудно показать, принимает вид

где

Вайнштейн [2] предложил изящный метод решения интегрального уравнения (7.16.10). В этом методе используются собственные функции резонатора с бесконечно большими размерами зеркал. Здесь резонатор можно рассматривать как волновод высотой простирающийся от до Аналогично, резонатор с конечными размерами зеркал можно рассматривать как волновод ограниченных размеров, в котором моды распространяются к открытым концам, где они затем частично отражаются обратно за счет дифракции на краях. Таким образом, собственные функции резонатора при выбранных значениях могут быть выражены комбинацией мод бесконечно длинного волновода, претерпевающих дифракцию на открытых концах.

Если представляет собой компоненту магнитного поля на зеркалах резонатора, то поле внутри волновода для -й моды записывается в виде

где координаты стенок и

Волновая функция представляет собой суперпозицию плоских волн, падающих под некоторым углом к стенкам резонатора

Рис. 7.34. Углы падения и дифракции при преабразовании моды, бегущей вверх, в моду, бегущую вниз, за счет дифракции на краях волновода.

7.34), определяемых выражением

Ограничимся рассмотрением случая сильного отражения мод от краев резонатора. Согласно теории дифракции на полуплоскости, развитой в гл. 6, поле, дифрагированное в направлении, противоположном направлению падающего пучка, оказывается значительным, когда угол падения близок к Следовательно, мы можем ограничиться изучением тех мод, для которых Кроме того, если к можно записать в виде причем и положить где , то, используя приближенное выражение к и заменяя на у, имеем

Следует добавить, что мы рассматривали лишь те моды, индекс которых отличается от на четное число. Это допущение обусловлено тем фактом, что при отражении на открытых концах волновода моды с четными не взаимодействуют с модами, имеющими нечетные Это можно доказать, учитывая то, что на зеркалах поля четных и нечетных мод направлены в противоположные стороны. Кроме того, следует заметить, что в зависимости от знака разности величина будет либо вещественной (при ), либо мнимой (при ). В первом случае мода распространяется вдоль оси в то время как во втором она затухает.

Для зеркал конечных размеров, следуя Вайнштейну [2], разложим в ряд:

Подстановка этого ряда в уравнение (7.16.10) дает следующее уравнение:

где комплексный интеграл Френеля, определенный в гл. 5 выражением (5.3.5). В случае когда мы рассматриваем поле на некотором расстоянии от концов волновода и уравнение (7.16.16), если положить сводится к тождеству. Это в свою очередь означает, что моды, распространяющиеся в области, достаточно удаленной от концов волновода, как и следовало ожидать, не взаимодействуют между собой. Напротив, вблизи концов волновода, т. е. при уравнение (7.16.16) принимает вид

поскольку при

Забудем на время, что мы исследуем резонатор, и представим себе, что мода у движется к концу волновода из в точку где вследствие дифракции распадается на ряд отраженных мод. Очевидно, что при этом интегральное уравнение (7.16.10) остается справедливым, поскольку замена координаты — на обоснована тем, что поля в соответствующих сечениях совпадают.

Обозначим через амплитуду отраженной моды которая является результатом дифракции падающей моды с индексом положим при и Тогда уравнение (7.16.17) преобразуется к виду

Коэффициенты можно получить, решив данную систему уравнений для всех значений силу теоремы взаимности положив первом приближении мы имеем

здесь в то время как другие коэффициенты равны нулю. Последняя формула для Год была выведена Вайнштейном (см. книгу Вайнштейна [5], указанную в литературе к гл. 4 нашей книги) для предельного случая малых из точного выражения, полученного методом факторизации Винера — Хопфа — Фока. Более точный расчет этих коэффициентов, выполненный Вайнштейном, дает (рис. 7.35)

(О другом методе приближенного расчета коэффициентов отражения см. в Работе Лючини и Солимено [41].)

Представим теперь резонатор в виде последовательности открытых передающих линий длиной имеющих постоянные

Рис. 7.35. Коэффициенты отражения и коэффициенты преобразования мод вблизи порога в зависимости от параметра где велична связана с углом книги Вайнштейна

распространения и характеризующихся матрицей рассеяния на концах . С хорошим приближением все коэффициенты можно приравнять к нулю, за исключением коэффициента что позволяет записать в виде

Поскольку при мы имеем подстановка сюда вместо выражения (7.16.19) дает

Здесь индекс относится к различным значениям а каждому соответствует своя поперечная мода. Решив уравнение (7.16.22) относительно вещественной и мнимой частей комплексного параметра получим следующие выражения для фазового сдвига и потерь за один проход моды резонатора:

Объединив моды двух резонаторов в виде бесконечных полос, получим распределение поля в резонаторе с прямоугольными зеркалами. При в хорошем приближении можно записать следующее выражение:

где или выбираются в зависимости от того, четным или нечетным является а

выражение для записывается аналогично, необходимо лишь заменить на на

Вайнштейн применил также этот метод к случаю резонатора с круглыми зеркалами и показал, что в этом случае собственные

функции записываются в виде

где нуль функции Бесселя (а — радиус зеркала). В этом случае потери определяются формулой (7.11.8).