1.4.1. Двойное лучепреломление

Рассмотрим распространение плоских монохроматических волн в прозрачном кристалле (при этом тензор равен вещественному тензору диэлектрических проницаемостей Предположим, что векторы пропорциональны общему множителю где k — вещественный вектор. Тогда уравнения Максвелла (1.2.60) принимают вид

Подставляя уравнение (1.4.2а) в (1.4.26) и используя векторное тождество чтобы вычислить возникающее при этом тройное векторное произведение, получаем

здесь мы учли, что произведение к отлично от нуля. Таким образом, вектор к не перпендикулярен В то же время из уравнений (1.4.2) непосредственно следует, что к ортогонален векторам Это демонстрируется на рис. 1.9, который, в частности, показывает, что к и вектор Пойнтинга (см. разд. 1.6), вообще говоря, не параллельны друг другу, т. е. поток энергии не обязательно направлен вдоль нормали к волновому фронту.

Предположим далее, что задан единичный вектор в направлении распространения пучка При этом можно показать, что системе уравнений (1.4.2) удовлетворяют две возможные величины к и, следовательно, два различных показателя преломления Для этого удобно ввести систему декартовых координат, совпадающих с главными осями тензора диэлектрических проницаемостей

Рис. 1.9. Взаимное расположение вектора в задаче о распространении нормальных мод в анизатропной среде.

При этом соотношение (1.4.1а) приобретает диагональную форму

причем величины называют главными диэлектрическими проницаемостями. В этой системе отсчета после подстановки (1.4.4) в (1.4.3) нетрудно получить:

Умножая обе части этого уравнения и суммируя по имеем

Отсюда следует уравнение Френеля

Это биквадратное уравнение относительно неизвестной следовательно, оно имеет две пары решений Вырождение по знаку тривиально и является следствием возможности распространения волны в противоположных направлениях. Существование же двух, не равных по модулю, решений означает, что в одном и том же направлении могут распространяться две различные плоские волны с разными фазовыми скоростями с Можно показать, что обе эти волны линейно-поляризованы и их направления поляризации (т. е. направления вектора взаимно перпендикулярны. Таким образом, для любого направления в анизотропной среде две плоские волны (нормальные моды) могут распространяться, «чувствуя» каждая свой показатель преломления или

Если отложить из начала координат в направлении вектора Пойнтинга плоской волны с волновым вектором отрезок длиной то получим так называемую лучевую поверхность или волновую поверхность Френеля. Она дает полную картину распределения лучевых скоростей всех направлениях. В общем случае мы получаем двулистную поверхность — один лист соответствует а другой Эти два листа пересекаются в двух (одноосный

кристалл) или четырех (двухосный кристалл) точках, которые определяют оптические оси кристалла.

Когда мы откладываем на графике величины как радиус-векторы в направлении из начала координат, то получаем двулистную поверхность нормалей. В частности, для одноосного кристалла один из листов является сферой (соответствует обыкновенной волне), а другой — овалоидом (поверхность вращения четвертого порядка соответствует необыкновенной волне). Эти две поверхности касаются друг друга в двух точках, соответствующих оптической оси.

Следует заметить здесь, что реализовать в эксперименте такую ситуацию, когда две волны имеют в кристалле один и тот же вектор к, довольно сложно. Дело в том, что, попадая в кристалл извне, эти волны преломляются на разный угол (см. гл. XIV в книге [11]).

В любом одноосном кристалле одна из главных диэлектрических осей совпадает с осью симметрии (вдоль этой оптической оси обычно направляют ось Две же другие оси перпендикулярны ей и произвольны (обычно используют

Для решения многих задач по распространению волн удобно обратиться к геометрическим построениям, использующим эллипсоид показателей преломления (см. гл. XIV в книге [11]), определяемый уравнением

Здесь главные показатели преломления. Эллипсоид показателей преломления, называемый также оптической индикатрисой, можно использовать для определения двух показателей преломления связанных с двумя независимыми линейно поляризованными плоскими волнами, которые могут распространяться вдоль произвольного направления в кристалле. Для этого нужно найти эллипс, образующийся при пересечении плоскости, перпендикулярной и проходящей через начало координат, с эллипсоидом индексов. Две полуоси построенного таким образом эллипса равны показателям преломления двух нормальных мод. Эти же оси оказываются также параллельными направлению векторов двух мод. Электрические поля параллельны нормалям к эллипсоиду показателей преломления — в точках его пересечения с осями эллипса.

Оказывается, что для одноосного кристалла лишь одно из решений уравнения Френеля зависит от угла между вектором и осью При этом одна из волн (обыкновенная) имеет эффективный показатель преломления, который не зависит от в и равен Другая же волна (необыкновенная) имеет показатель преломления

Рис. 1.10. Двойное лучепреломление обыкновенного и необыкновенного лучей.

зависящий от 0. Величина изменяется в диапазоне до (см. задачу 1.13).

Различие между эффективными показателями преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей имеет одно очевидное следствие. Падая на поверхность кристалла, эти два луча преломляются по-разному (рис. 1.10), чем и оправдывается название «двойное лучепреломление» рассматриваемого в данном разделе явления.

Следует заметить, что в общем случае вектор Пойнтинга составляет некоторый угол с волновым вектором нормальной моды. Если рассматривать распространение пучка лучей, например гауссова лазерного пучка, то его направление не совпадает с вектором распространения центральной компоненты плоских волн, составляющих пучок. С.М. Рытов показал, что пучок лучей распространяется вдоль направления вектора Пойнтинга, вычисленного для центральной компоненты волнового пакета плоских волн. Этот результат довольно легко получить, если представить поле в виде дифракционного интеграла (см. гл. 4), который можно вычислить с помощью метода стационарной фазы, рассматриваемого в гл. 5.