4.9.2. Угловой спектр в комплексной области
Разложение с помощью углового спектра не ограничивается лишь случаем, когда поле сосредоточено в полупространстве. В разд. 6.2 мы покажем [выражение (6.2.2)], что при дифракции на клине поле может быть представлено двумя интегралами по угловому спектру, контуры интегрирования которых представляют из себя два контура Зоммерфельда, сдвинутых относительно друг друга на
Следовательно, рассмотренные выше соотношения можно обобщить, используя интеграл
где
произвольный и в общем случае комплексный контур интегрирования. Выражение (4.9.12) описывает цилиндрическую волну в виде суперпозиции плоских волн с амплитудой
и волновым вектором
функции
могут быть полюсы и точки ветвления, а в тех случаях, когда она периодична и ее период кратен
контур интегрирования
может быть сдвинут на величину периода без изменения значения интеграла.
Можно найти такие контуры интегрирования, для которых выражение (4.9.12) описывает физически возможные поля, не имеющие расходимости при
Для этого запишем величину
в виде
При этом зависимость от
показателя экспоненты в подынтегральном выражении (4.9.2) запишется следующим образом:
Следовательно, интеграл
остается конечным при условии, что
включает в себя лишь те комплексные значения
которые принадлежат заштрихованным на рис. 4.9 областям, определяемым неравенствами
Вообще говоря, выбранный контур удовлетворяет этим неравенствам лишь для некоторой области значений углов наблюдения
поскольку границы описываемых физических областей сами зависят от
Например, контур Зоммерфельда
удовлетворяет неравенствам (4.9.14) в области
следовательно, его можно использовать для определения поля в области
Рис. 4.9. Области комплексной
-плоскости, в которых функция
остается ограниченной при
Сплошные кривые — контуры наибыстрейшего спуска (см. разд. 5.6 в гл. 5).