6.12.2. Векторные сферические гармоники

Применим к обычным гармоническим функциям векторный оператор такой, что [22]

В результате получим так называемые векторные сферические гармоники. Прежде чем рассмотреть свойства этих функций, сделаем несколько замечаний относительно свойств скалярных компонент и оператора Оказывается, что существуют удобные комбинации такие, что

Отсюда, например, следует, что оператор , определенный выражением (6.12.2), можно представить в виде суммы Кроме того, нетрудно показать, что выполняются следующие коммутационные свойства операторов и :

а также соотношения

Таким образом, скалярные сферические гармоники являются собственными функциями операторов Читатели, знакомые с квантовой механикой, заметят совпадение этих операторов с операторами углового момента.

Теперь можно получить векторные сферические гармоники, воздействуя оператором на функции

Из определения оператора И ясно, что а следовательно, и

Векторные сферические гармоники можно использовать для описания векторных полей, направленных по касательной к сфере. В частности, с их помощью можно составить так называемые электрические мулътиполъные поля

Отсюда следует, что радиальную компоненту вектора можно записать в виде

где мы использовали векторные тождества (см. приложение А к настоящей книге). Аналогичным образом можно найти выражения для мультипольных полей с поперечными электрическими полями:

Наконец, более общее выражение для электромагнитного поля может быть записано в виде суперпозиции сферических мультипольных полей:

где коэффициенты а можно вычислить, если скалярно умножить выражение для на а затем использовать соотношение (6.12.24) с учетом взаимной ортогональности функций Исходя из взаимной ортогональности мультипольных полей и следуя тем же путем, который привел нас выше к разложению скалярной плоской волны (6.12.17), нетрудно получить формулу Бауэра для векторной плоской волны: