2.10. КАУСТИКИ И ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ

Амплитуда поля, вычисленная в приближении геометрической оптики, оказывается бесконечной на некоторых поверхностях, называемых каустиками, где [см. соотношение (2.5.6)]. Кроме того, в

некоторых особых точках каустики (точках возврата) поле расходится иначе, чем на всей остальной поверхности каустики. Как видно из выражения (2.9.14), в однородной среде каустика является геометрическим местом главных центров кривизны (фокусов) волнового фронта. Поскольку в большинстве случаев каждой точке волнового фронта соответствуют два главных центра кривизны, каустику можно рассматривать как двулистную поверхность. В неоднородной среде понятие о центре кривизны не имеет смысла, и каустикой является огибающая конгруэнции лучей. При этом каждый из лучей касается поверхности каустики в некоторой точке, а это в свою очередь означает, что элементарный пучок лучей стягивается в отрезок на каустике, что и приводит к сингулярности поля [выражение (2.5.3)].

Для более строгого описания рассмотрим двумерную конгруэнцию лучей и треугольный контур, состоящий из элемента луча 6, участка каустики и отрезка на волновом фронте Очевидно, что поток вектора через этот контур равен . Площадь, ограниченная контуром, стремится к нулю приблизительно как Поэтому отношение потока к площади расходится как . Используя теорему Гаусса, получаем, что на каустике стремится к Так как величина также стремится к следствием чего является расходимость амплитуды [см. (2.5.6)].

В однородной среде огибающая поверхность совпадает с

Рис. 2.14. Примеры каустик, а — у сферической волны каустика представляет собой точку; обратите внимание на отличие случая, когда точечный источник испускает лучи во всех направлениях; в первом случае поле в фокусе конечно, а во втором нет; каустика, образующаяся в случае, когда сферическая волна входит в более плотную диэлектрическую линзу через плоскую границу раздела. 1 — фокус; 2 — сферический волновой фронт; 3 — конгруэнция лучей с каустикой; 4 — каустика.

Рис. 2.15. (см. скан) а — двулистная поверхность каустики, связанная с волновым фронтом, имеющим вращательную симметрию; б - сечения показанной на рис. а каустики плоскостью, проходящей через ось вращательной симметрии; сечения с точкой возврата могут быть ориентированы в разные стороны в зависимости от вида волновых фронтов.

геометрическим местом главных центров кривизны и для сферической волны сводится в одну точку (рис. 2.14). Если волновые фронты имеют вид цилиндрических поверхностей, то одним из листов каустики является цилиндр, а другой лист расположен на бесконечности. Другой пример — волновые фронты в однородной среде, симметричной относительно поворота вокруг некоторой оси; главные центры кривизны относительно меридиональных сечений в общем случае отделены от центров кривизны, которые расположены на самой оси вращения (фокальная линия). В этом случае каустика состоит из поверхности вращения (имеющей точку возврата на оси) и отрезка самой оси (рис. 2.15). В обоих рассмотренных случаях каустики полностью определяются кривыми, которые представляют собой сечения каустик соответственно плоскостью, ортогональной цилиндрическим волновым фронтам, и плоскостью, содержащей ось вращения.

Рассмотрим двумерную задачу. На рис. 2.16 изображены близкая к каустике точка и два луча, проходящие через эту точку (здесь и далее мы будем рассматривать однородную среду). Через каждую из

Рис. 2.16. а — пересечение лучей вблизи регулярной точки каустики; б - волновые фронты, соответствующие случаю на рис. а; в — точка возврата, образуемая на каустике волновыми фронтами; пересечение лучей вблизи точки возврата; в этом случае более двух лучей могут пересекаться в одной точке и приводить к образованию сложной интерференционной картины; отмечена также точка лежащая в темной зоне одной ветви каустики и в светлой зоне другой ветви.

точек вблизи каустики проходят два луча, один из которых покидает каустику (в точке с координатой, соответствующей длине дуги вдоль каустики, на расстоянии по касательной от точки а другой входит в каустику (соответственно в точке на расстоянии по касательной от точки Таким образом, поле в точке является суперпозицией полей двух лучей, эйконалы которых равны соответственно Это приводит к осцилляциям амплитуды поля вблизи каустики за счет интерференции волн.

Волновые фронты можно построить как множество точек, в которых оказывается конец нити, разматывающейся с каустики. Действительно, мгновенный центр вращения прямого отрезка нити совпадает с точкой касания нити с каустикой, поэтому конец нити движется при разматывании перпендикулярно самому лучу, т. е. тангенциально волновому фронту. Иными словами, если рассмотреть некоторую опорную точку на каустике, то можно представить себе, что поле порождается источником, расположенным в точке Лучи

первоначально движутся по криволинейной траектории вдоль каустики, а затем покидают ее по касательной к ней. Длина оптического пути, вычисленная вдоль этой траектории, оказывается постоянной, если сдвигать точку по волновому фронту. Такая инерпретация позволяет легко обобщить метод построения каустики для трехмерной конгруэнции лучей. В этом случае можно показать [10], что волновые фронты образуются при разматывании пучка нитей, протянутых вдоль геодезических линий на поверхности каустики. Такая процедура является непосредственным обобщением разобранного выше построения для плоской геометрии и позволяет построить волновые фронты при известной каустике, т. е. решает задачу, обратную нахождению каустики при заданных волновых фронтах.

Волновые фронты, проходящие через две точки, расположенные на одном и том же луче по обе стороны относительно точки касания луча с каустикой, имеют противоположные значения кривизны, поскольку эти фронты отвечают приходящей и уходящей волне (рис, 2.17). Вообще говоря, фаза волны увеличивается на когда соответствующий луч касается каустики (см. заключительную часть разд. 2.9).