4.12. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ КОМПЛЕКСНОГО ПОРЯДКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВАТСОНА

Разложения по цилиндрическим волнам являются нередко лишь промежуточным этапом в поиске простых аналитических представлений поля. Действительно, во многих случаях эти ряды сходятся столь медленно, что для получения удовлетворительной точности необходимо учитывать очень большое число членов суммы. Типичным примером является задача о рассеянии плоской волны на цилиндрическом препятствии. Несмотря на простоту решения в приближении геометрической оптики, по виду разложения в ряды Фурье и Бесселя совсем

не просто предсказать существование области тени. Путь к преодолению этой сложности был предложен Ватсоном, который преобразовал начальное разложение в другое, сходящееся гораздо быстрее к пределу геометрической оптики при Проиллюстрируем теперь на частном примере главные этапы метода Ватсона, ведущего к получению быстро сходящихся рядов. Рассмотрение преобразования Ватсона для случая рассеяния на диэлектрическом цилиндре мы отложим до разд. 6.5.

Из общих соображений можно предположить, что при дифракции плоской волны на круговом цилиндре поле на поверхности цилиндра в области геометрической тени должно затухать, так что

здесь угол, связанный с границей тени, комплексное число, причем С формальной точки зрения решение соответствует цилиндрической волне, «вращающейся» вокруг цилиндра и имеющей комплексную постоянную распространения где а — радиус цилиндра. Таким образом, в освещаемой области поле представляет собой комбинацию цилиндрических волн вещественного порядка а в области тени в разложении участвуют компоненты комплексного порядка

Чтобы показать применимость выражения (4.12.1) при необходимо прежде всего преобразовать разложение (4.11.3) для того, чтобы учесть в нем вклад от волн общего вида с комплексным С этой целью заметим, что выражение (4.11.6) для поля, не зависящего от принимает вид 00

где — функция Ханкеля первого рода, а — та же функция второго рода. Их можно определить для любого комплексного причем при фиксированной вещественной части они имеют следующее асимптотическое представление:

откуда следует, что описывает волну, уходящую на бесконечность, в то время как притивоположно направленную. Таким образом, если нас интересует лишь компонента поля, уходящая на

бесконечность, то можно записать в следующем простом виде:

Если задана на круге радиусом а, ряд (4.12.4) можно переписать в виде

где так называемый масштабный параметру а

В выражении (4.12.5) мы учли тот факт, что при выражение (4.12.4) является разложением в ряд Фурье периодической функции

Когда оба параметра очень велики, в сумме (4.12.5) функции Ханкеля можно заменить их асимптотическим представлением (4.12.3), и тогда выражение (4.12.5) можно записать приближенно в следующем виде:

что представляет собой точное выражение для поля в пределе геометрической оптики. Асимптотическое приближение для непригодно в тех случаях, когда нельзя пренебречь вкладом членов с большим индексом На самом деле асимптотическое разложение неприменимо, если величина по порядку величины равна или меньше, чем . В этих случаях, для постоянного отношения при асимптотическое поведение функции имеет вид (см. книгу [4], с. 71)

Аналогичное выражение может быть получено для если использовать соотношение Таким образом, мы имеем

Отсюда следует, в частности, что в данном случае члены высшего

Рис. 4.14. Возбуждение ползущих волн в области тени при освещении отверстия в металлическом цилиндре.

порядка в ряде (4.12.5) убывают как в отличие от зависимости, описываемой выражением (4.12.7). Такое существенное уменьшение членов высшего порядка означает сильное сглаживание дифракционной картины в дальней зоне по сравнению с тем, что мы имеем в приближении геометрической оптики.

Рассмотрим конкретную задачу. Пусть в металлическом круговом цилиндре радиусом а имеется отверстие, простирающееся от до как показано на рис. 4.14. Предположим также, что источники находятся внутри цилиндра и создают на отверстии распределение поля В приближении геометрической оптики волна будет распространяться наружу лишь внутри угла и резко спадать до нуля вне этого сектора. Однако благодаря быстрому убыванию амплитуды высших гармоник переход от освещенной области к области тени будет тем менее резким, чем в более дальней зоне находится точка наблюдения.

Этим качественным рассуждениям можно сопоставить вполне определенные количественные выражения, если ряд (4.12.5) преобразовать к контурному интегралу (рис. 4.15)

где контур С, обход по которому производится против часовой стрелки, охватывает все нули функции и оставляет во внешней области все полюсы отношения Справедливость этого интеграла можно проверить сразу, если заметить, что его подынтегральное выражение имеет внутри С лишь простые полюсы, совпадающие с нулями функции т. е. лежащими при

Рис. 4.15. Распределение нулей функций Контур интегрирвания С замыкается вокруг нулей и оставляет во внешней области нули функции

Следовательно, вычисляя интеграл (4.12.10) с помощью теоремы о вычетах, мы вновь получаем ряд (4.12.5). Если принять теперь во внимание соотношение и тот факт, что функция не имеет ни нулей, ни полюсов при то контур С можно преобразовать к прямой — причем Таким образом,

Учитывая асимптотические выражения (4.12.9), получаем, что подынтегральное выражение в (4.12.11) обращается в нуль при для Следовательно, контур интегрирования можно замкнуть полуокружностью в верхней полуплоскости. Так как функции можно представить в виде комбинации функций Бесселя

можно разложить в ряд

где гамма-функция Гаусса, то можно написать следующее выражение:

Заметим теперь, что целая функция аргумента она регулярна во всей комплексной плоскости стремится к конечному пределу при целое число, положительное или отрицательное). Отсюда следует, что также является целой функцией аргумента

Возвращаясь теперь к интегралу (4.12.11), контур которого замкнут в верхней полуплоскости; приходим к выводу, что подынтегральное выражение содержит только полюсные особенности, соответствующие нулям функции Применяя теорему о вычетах, окончательно получаем

Таким образом, в результате долгих выкладок мы заменили начальный ряд (4.12.5) на новый, содержащий функции комплексного индекса Это преобразование впервые предложил Ватсон в 1918 г. для улучшения сходимости разложения по сферическим волнам поля в зоне тени, рассеянного сферическим препятствием. При этом он доказал, что в полученном ряде можно оставить только первый член, и объяснил таким образом экспоненциальное затухание поля, излучаемого передатчиком, находящимся за линией прямой видимости, в области геометрической тени Земли. Значительно позднее, а именно в 1958 г. Редже вновь открыл этот метод для решения задачи о рассеянии шрёдингеровской волновой функции частицы на центральном потенциале. В этом случае индекс с точностью до постоянной Планка А совпадает с квантовомеханическим угловым моментом частицы. Аналитическое продолжение в область комплексных можно при этом интерпретировать так, что частицы в области тени имеют комплексный угловой момент [17].

Теперь остается исследовать распределение нулей и сами выражения для слагаемых в рядах Ватсона (4.12.15).