2.4.1. Теорема Малюса — Дюпина
Выполнение равенства (2.4.5) является необходимым условием ортогональности пучка лучей к семейству волновых фронтов, однако оно не всегда означает, что существует эйконал. Из (2.4.2) и
следует, что эйконал существует, только если
В этом случае пучок лучей называют нормальной конгруэнцией, и ее свойства можно описать с помощью уравнения эйконала.
Докажем теперь, что уравнение (2.4.9) справедливо всюду, если только оно выполняется в одной точке. Действительно, равенство нулю ротора вектора
в некоторой точке означает, что диада
симметричная. Покажем, что и все производные от
симметричны. Действительно, используя уравнение (2.4.6), можно получить следующие соотношения:
и в более общем виде
Видно, что в правой части соотношения (2.4.11) первая диада симметрична; симметрична также и вторая диада, если только симметричны производные от
до
порядка включительно. При этом симметрична и левая часть соотношения (2.4.1). Таким образом, используя метод индукции, мы показали, что все производные от
симметричны в рассматриваемой точке. Это означает, что
симметрична вдоль всего луча (если
является аналитической функцией координаты
) и всюду выполняется равенство
Можно показать, что если соотношение (2.4.9) справедливо в единственной точке, то оно выполняется и вдоль всего луча даже в том случае, когда показатель преломления имеет разрывы на границах отражения или преломления. Этот результат известен как теорема Малюса
Дюпина (см. книгу [11] в гл. 1). Интуитивно этот вывод можно понять, если представить себе лучи как предельные траектории при плавном переходе от среды с непрерывно изменяющимся распределением
к среде с резким разрывом показателя преломления. Поскольку равенство
выполняется для всех лучей в области с регулярным распределением показателя преломления, это равенство должно оставаться справедливым и при достижении границы разрыва.