8.19. САМОИНДУЦИРОВАННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ

Рассмотрим третий член в разложении (8.18.1), описывающий поляризуемость третьего порядка Допустим, что материал, из которого изготовлено волокно, является изотропным и нелинейная характеристика волокна определяется быстро протекающими электронными процессами. Тогда можно записать в виде [27] (см. также диссертацию Овиюнга [4], указанную в литературе к гл. 1 нашей книги)

(дисперсия здесь отсутствует), где электрическая постоянная вакуума, а — нелинейная восприимчивость среды. Для того чтобы выделить самоиндуцированные эффекты, в выражении (8.19.1) необходимо найти члены с частотой колебаний, примерно совпадающей с частотой поля (в точности ту же частоту они будут иметь в том случае, если поле представляет собой монохроматическую волну); тогда выражение (8.19.1) можно записать в виде

где фурье-образы величин и во временной области при угловой частоте а соответствующий тензор [см., например, выражение (8.19.4)]. Пусть в слабонаправляющий световод вводится некоторый аналитический сигнал с амплитудой [28] [напомним, что см. разд. 1.8.]. Поскольку известно, что в таком световоде поперечная компонента поля велика по сравнению с продольной (см. разд. 8.6.), в выражении (8.19.2) останутся лишь поперечные компоненты, так что это выражение принимает вид [29]

где

Для волокон, сохраняющих поляризацию (см. разд. 8.17), можно положить, например, (как потом выяснится, нелинейное взаимодействие не смешивает ортогональные поляризации). Тогда выражение (8.19.3) сведется к

где Это же соотношение при условии, что справедливо и для регулярных волокон, в которых конкуренция поляризаций происходит на очень коротких расстояниях и для которых в среднем В обоих случаях в показателе преломления можно формально выделить нелинейную составляющую, использовав для этого связь между фурье-компонентами вектора смещения и электрического поля

откуда в соответствии с выражением (8.19.5) получаем

так что в хорошем приближении можно написать следующее выражение:

где Линейная часть показателя преломления представлена слагаемым а нелинейная — слагаемым Выражение (8.19.8) дает пример зависящего от времени (через ) показателя преломления, шкала изменения которого во времени велика по сравнению с где представляет типичную временную шкалу изменения (см. в гл. 1 разд. 1.2 и работу [3] в литературе, указанной к этой главе). Заметим, что выражение (8.19.8) можно также переписать через интенсивность а именно в виде где Для кварца

Присутствие квадратичного по электрическому полю нелинейного члена в правых частях выражений (8.19.7) и (8.19.8) приводит к появлению эффекта Керра. Чтобы исследовать влияние этого члена на процесс распространения света в волокне, можно либо воспользоваться непосредственно решениями уравнений Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью, определяемой выражением (8.19.7) [30], либо (как и будет сделано в дальнейшем) применить теорию связанных мод, рассмотренную в разд. 8.15 (см. также разд. 8.17), устанавливая связь нелинейной компоненты показателя преломления с нарушениями регулярности волокна.

Прежде чем продолжить обсуждение, с целью обобщения рассматриваемого формализма на случаи, когда основную роль играют волны, распространяющиеся назад, выражение для поля внутри волокна необходимо переписать в виде

где

Здесь причем единичный вектор, параллельный осидс. Выражение (8.19.9) представляет собой естественное обобщение выражения (8.10.10) на случай, когда волной, распространяющейся назад, пренебречь нельзя. В соответствии с этим теорию связанных мод необходимо модифицировать таким образом, чтобы учесть взаимодействие прямых и обратных волн. При этом система уравнений, описывающая изменение коэффициентов запишется в виде [1]

а коэффициенты связи в соответствии с (8.19.7) можно записать следующим образом:

Из уравнений (8.19.11) можно получить следующую систему уравнений для [31]:

где коэффициенты связи записываются через интегралы перекрывания пространственных конфигураций различных мод:

а дифференциальные операторы определяются выражением

где групповая скорость [см. выражение (8.12.2)] и групповая дисперсия второго порядка:

а - групповые дисперсии более высших порядков:

В частности, если выбрать таким образом, чтобы

то выражения для можно переписать в виде

где — эффективная площадь моды [29].

Система уравнений (8.19.13) является основой для описания различного типа нелинейных эффектов, имеющих место при распространении оптического сигнала в длинном волокне, а именно фазовой самомодуляции, солитонов и вырожденного четырехволнового смешения, о которых речь пойдет ниже.