ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

1.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Электромагнитное, поле в среде с непрерывно изменяющимися физическими параметрами характеризуется четырьмя векторными величинами — которые удовлетворяют уравнениям Максвелла:

В данной книге мы будем использовать систему единиц МКСА, поэтому электрическое поле измеряется в вольтах на метр, магнитная индукция В — в веберах на квадратный метр, электрическая индукция в кулонах на квадратный метр, магнитное поле в амперах на метр. В уравнения Максвелла входят также объемная плотность заряда измеряемая в кулонах на кубический метр, и плотность тока в амперах на квадратный метр.

Наличие плотности тока в уравнении (1.1.2) может быть связано с присутствием в среде проводящих материалов (например, металлов или полупроводников) или внешних источников (таких, как магнитные и электрические диполи, движущийся электрон). В некоторых случаях вектор заранее не известен; например, электрический ток, циркулирующий на поверхности металлического объекта при рассеянии на нем электромагнитной волны, сложным образом зависит от падающего и рассеянного излучений. Поскольку решение этих задач не является предметом изучения в данной книге, посвященной рассмотрению вопросов оптики, плотность тока мы будем считать, как правило, известной величиной. При этом объемная плотность заряда возникнет только за счет ненулевой дивергенции вектора в соответствии с соотношением

которое непосредственно следует из уравнений (1.1.2) и (1.1.4).

Поскольку в оптическом диапазоне частот магнитная проницаемость среды мало отличается от магнитной проницаемости вакуума (магнитной постоянной) можно записать следующее простое соотношение:

(случаи, когда это соотношение не выполняется, имеют место при рассмотрении систем отсчета, связанных с движущейся средой; с этими случаями читатель может ознакомиться в разд. 1.7).

Векторы же связаны друг с другом, вообще говоря, более сложным соотношением (см. следующий раздел). Однако если ограничиться рассмотрением монохроматического поля, осциллирующего с угловой частотой т. е. толя амплитуд поля в комплексном представлении (см. разд. 1.8) можно записать следующее соотношение, аналогичное (1.1.6):

где электрическая постоянная, а в общем случае комплексная диэлектрическая восприимчивость среды. Хотя соотношение (1.1.7) верно лишь для однородной изотропной среды, его можно обобщить и на случай анизотропной среды (см. разд. 1.4), считая величину зависящей от направления распространения электромагнитного излучения (если предположить, что поле представляет собой плоскую волну).

Ограничившись рассмотрением изотропной среды и используя уравнения Максвелла и соотношение (1.1.7), можно получить уравнение лишь для поля Таким образом, полагая имеем

где скорость света в вакууме. Это же уравнение (1.1.8) можно переписать в другом виде:

где в общем случае комплексный показатель преломления среды. Уравнение нетрудно получить, применяя оператор к обеим частям уравнений (1.1.1) и (1.1.2), записанных в комплексном представлении, и используя соотношение (см. приложение А в конце книги) и уравнение (1.1.4).

Диэлектрическая восприимчивость изотропной неоднородной среды является функцией координаты; при этом уравнение (1.1.7) принимает вид

В этом случае уравнение для запишется в виде

где коэффициент преломления также является функцией координаты Используя уравнение (1.1.4) и соотношение можно записать

откуда следует, что а это, в случае когда представляет собой медленноменяющуюся функцию расстояния поле перпендикулярно вектору позволяет в свою очередь пренебречь вторым членом в уравнении (1.1.11). В этом случае любая составляющая вектора [обозначим ее как в декартовой системе координат удовлетворяет скалярному волновому уравнению

Большая часть математических методов, представленных в данной книге, посвящена решению уравнения (1.1.12). В связи с этим еще раз подчеркнем, что в тех областях пространства, где свойства среды резко изменяются (см., например, гл. 3 и 4), уравнения Максвелла и следующие из них волновые уравнения должны быть дополнены соотношениями, связывающими векторы по обе стороны поверхности разрыва. Для диэлектрической среды без внешних источников (зарядов и токов) эти условия состоят в том, что при пересечении поверхностей разрыва нормальные составляющие векторов и тангенциальные составляющие векторов изменяются непрерывно [1].