4.13.3. Дифракционный интеграл Лунеберга — Дебая

В случае когда поля можно представить лучевыми полями, дифракционная формула Коттлера — Кирхгофа (4.3.4) принимает вид

где вектор, зависящий только от направления луча — телесный угол, которым элемент поверхности стягивается к фокусу. При выводе этого выражения из (4.3.4) мы использовали соотношения которые следуют из уравнения (2.8.12). При последним контурным интегралом можно пренебречь. Аналогично, если волновой фронт, проходящий через центр выходного зрачка А, слабо отличается от опорной сферы, также включающей точку и имеющей центр в гауссовом изображении источника (см. разд. 2.15.4), то разность к становится пренебрежимо малой и приведенное интегральное представление принимает вид

Выберем декартову систему координат с осью параллельной оптической оси, и пусть плоскость совпадает с гауссовым изображением плоскости Координаты источника равны Для определения величины стоящей в фазовом множителе интеграла (4.13.11), можно воспользоваться гамильтоновой смешанной характеристикой построенной с использованием координат источника и направляющих косинусов

Рис. 4.19. Используемые в разд. 4.13.3 обозначения: точка, в которой определяется поле; волновой фронт; гауссово изображение.

луча в пространстве изображения (см. гл. 2). Обозначим через координаты точки волнового фронта а через координаты точки в которой определяется поле. При этом мы можем написать следующее выражение (рис. 4.19):

где направляющие косинусы луча, проходящего через точку Поскольку волновой фронт образуется точечным источником с координатами эйконал совпадает с точечной характеристикой и мы имеем

здесь не зависит от конкретного выбора волнового фронта (напомним, что представляет собой длину оптического пути между точечным объектом и основанием перпендикуляра, опущенного из точки на луч).

Для точек наблюдения близких к гауссовому изображению источника, имеем (рис. 4.19)

Отсюда с помощью (4.13.12) и (4.13.13) получаем

Используя введенную ранее функцию аберраций [см. выражение (2.15.31)], можно записать

что позволяет представить сумму (4.13.15) в виде (4.3.16)

где

Следует заметить, что

здесь рмакс — радиус круговой области, в которой содержится практически все фокальное изображение, относительное число Френеля, равное видимому из выходного зрачка числу колец Френеля, содержащихся в круге площадью Можно показать, что по порядку величины равно обратному числу Френеля вычисленному для выходного зрачка при наблюдении из фокуса. Поэтому в случае при вычислении экспоненты в (4.13.11) можно пренебречь левой частью в Анадагично можно написать, что где [см. ниже выражения (4.13.21)], а максимальное рассматриваемое расстояние от фокуса. Так как ымакс имеет порядок величины 102, в записанном выше неравенстве можно также пренебречь левой частью. Однако в случае когда наличие в (4.13.17) слагаемого, пропорционального приводит к сдвигу фокуса по сравнению с построением геометрической оптики [см. ниже выражение (4.13.37)]. Если поле определяется в точке, столь близко расположенной к гауссову изображению, что в (4.13.17) можно пренебречь тремя последними членами, то выражение (4.13.11) преобразуется в интеграл Лунеберга — Дебая:

Эквивалентное выражение для получается заменой

Если точка наблюдения достаточно близка к началу координат, то телесный угол которым элемент волнового фронта стягивается к фокусу можно заменить телесным углом, которым этот элемент стягивается к началу координат В этом случае, если выбрать систему координат такой, чтобы углу соответствовало направление то последний интеграл можно преобразовать к виду

где функция зрачка равна единице на апертуре и нулю при всех других углах (см. разд. 4.5) и, кроме того, (не следует путать обозначения направляющих косинусов со сферической координатой).

Теперь удобно ввести оптические координаты определяемые выражениями [см. (2.15.28)]

где числовая апертура, причем половина апертурного угла в пространстве изображения (в гл. 8 мы покажем, что координата играет важную роль в теории распространения электромагнитных волн в оптическом волокне; в связи с этим ее называют нормализованной частотой и обозначают через К). При этом интеграл Лунеберга — Дебая можно переписать таким образом, что он не будет зависеть от

При достаточно малых числовых апертурах это выражение принимает вид

где Если линза не имеет аберраций то поле в фокальной плоскости имеет вид преобразования Фурье:

Здесь при переходе от (4.13.22) к (4.13.24) мы использовали соотношение где фокусное расстояние совпадает с расстоянием от выходного зрачка до фокуса.

В том же параксиальном приближении поле во входной плоскости еще одной линзы, у которой передняя фокальная плоскость совпадает с (рис. 4.20), является в свою очередь фурье-преобразованием распределения поля в плоскости таким образом, воспроизводит распределения поля на выходном зрачке первой линзы. Однако если в плоскости расположен транспарант, изменяющий амплитудное и фазовое распределение, то поле в этой плоскости умножается на соответствующую функцию и поля и не совпадают друг с другом. При этом поле пропорционально свертке с фурье-образом функции и записывается в виде

где увеличение (см. гл. 2) афокальной системы - фокусное расстояние второй линзы; рис. 4.20) (см. гл. 2), а

Рис. 4.20. Схематическое представление афокальной оптической системы, включающей в себя транспарант. Изображение точки во входной плоскости описывается функцией [см. выражение (4.13.25)]. В этой системе

Следовательно, каждый транспарант соответствует вполне определенному линейному интегральному преобразованию поля Это свойство используется, в частности, для преобразования полей с однородной интенсивностью и неоднородной фазой в поля с неоднородной интенсивностью. Таким образом, возможна визуализация фазовых изменений. Этот метод впервые был предложен Цернике (метод фазового контраста, метод полос или метод теневого изображения). Высокой степени развития достигли другие методы, служащие улучшению качества изображения и использующие корреляцию оптического сигнала, которые привели к возникновению новой области когерентной оптики [25, 26]. (Дополнительные подробности по этому вопросу изложены в разд. 4.15.)