4.9.4. Точки ветвления

Рассмотрим теперь случай, когда не зависящая от координаты у волна отражается от плоскости разделяющей две диэлектрические среды, в которых нет потерь (рис. 4.11). Пусть единичный линейный источник света параллелен оси у и расположен вдоль линии с координатами В этом случае начальное поле совпадает с функцией Грина так что по аналогии с выражением (4.8.6) для двумерного случая можно написать

Рис. 4.11. К задаче об отражении плоской волны на границе раздела двух диэлектрических сред.

следующее выражение:

где использовано соотношение (4.9.8) и равенство

Заметим теперь, что отраженная волна, распространяющаяся с данным значением может быть получена, если выражение для начальной падающей волны умножить на коэффициент отражения Следовательно, используя выражение (4.9.5), полное отраженное поле можно записать в виде

где относится к падающей волне, т. е.

Если источником поля является электрический ток, текущий параллельно оси у, то электрическое поле направлено также вдоль у, так что можно положить а коэффициент отражения в выражении (4.9.22) относится к ТЕ-волне [см. уравнение (3.8.2)]. Таким образом, коэффициент отражения запишется в виде

где — угол падения компоненты плоской волны, направленной вдоль равно отношению показателя преломления в полупространстве к показателю преломления в полупространстве Подставляя выражения (4.9.23) и (4.9.24) в (4.9.22) и

(кликните для просмотра скана)

используя (4.9.21), нетрудно получить следующее выражение:

где мы использовали соотношения

Подынтегральное выражение в (4.9.25) имеет точки ветвления, определяемые из уравнения причем при существует одна точка ветвления на мнимой оси, а при две точки на вещественной оси (рис. 4.12, а, б). Таким образом, если требуется преобразовать контур Зоммерфельда к КНС, то необходимо учесть вклады от обхода разрезов, выходящих из точек ветвления (волнистые линии на рис. 4.12). На рис 4.12, в представлена одна из возможных модификаций контура Зоммерфельда, который включает в себя контур частично окружающий разрез (см. разд. 5.6.2).

Два примера, рассмотренных выше, позволяют сделать интересные выводы. Во-первых, если поле состоит из плоских волн в некоторых ограниченных областях пространства, то угловой спектр имеет ряд полюсов на -плоскости. Во-вторых, наличие поверхностей разрыва в среде приводит к появлению точек ветвления и полюсов у функции которые можно связать с существованием боковых волн и волн утечки, как мы покажем в разд. 5.7.1.