7.18. ДИФРАКЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ РЕЗОНАТОРОВ

В телескопических резонаторах с зеркалами излучение обычно выводится с зеркала (рис. 7.17); поэтому для простоты можно предположить, что зеркало имеет бесконечный диаметр. В этом случае уравнение Фокса — Ли принимает вид

где распределение поля на зеркале число Френеля на зеркале — радиальные координаты, нормированные на величину

Легко показать, что выражение (7.18.1) описывает также и симметричный резонатор (рис. 7.36) с числом Френеля и параметром Определим эквивалентное число Френеля которое равно расстоянию от поверхности волнового фронта (проходящего через центр зеркала) до края зеркала, деленному на (рис. 7.37). Таким образом, мы можем написать

здесь увеличение резонатора, При этом выражение (7.18.1) принимает вид

Рис. 7.36. Формирование лучей, дифрагированных на краях в неустойчивом резонаторе.

Рис. 7.37. К определению эквивалентного числа Френеля в неустойчивом резонаторе.

где При достаточно больших числах Френеля интеграл в (17.8.3) можно вычислить асимптотически, используя выражения (5.8.1) и (5.8.5). Таким образом, для аксиально-симметричных мод получаем

здесь представляет собой волну, возникающую за счет краевой дифракции. Следуя процедуре, предложенной Хорвицем [42] для прямоугольных зеркал, определим последовательность волн краевой дифрдкции, получаемых подстановкой волны в правую часть уравнения (7.18.3) с последующим вычитанием вклада волны в краевую дифракцию. Таким образом, мы имеем

Разлагая в ряд получаем

где выбирается достаточно большим, чтобы на отрезке функция была почти постоянной. Подставляя выражение (7.18.6) в (7.18.3) и используя затем уравнение (7.18.5), мы окончательно

имеем

Учитывая то, что функция на отрезке почти постоянна, и приравнивая коэффициенты при в правой и левой частях данного уравнения, находим

Таким образом,

здесь Окончательно, приравнивая в уравнении (7.18.7) коэффициенты при друг другу и используя выражение (7.18.8) для , получаем следующее уравнение относительно :

Решив это уравнение, можно вычислить коэффициенты с помощью выражения (7.18.8).

При (см. работу Батса и Авизониса [42а]) функцию можно записать как функцию

функции Бесселя. При получении выражения (7.18.10) мы положили

здесь увеличение степени, а

В частности, можно показать, что

где параметр заменен приближенным значением заменено на Поскольку почти постоянна на интервале (0,1), из выражения (7.18.13) следует, что значение должно быть больше, чем Проверка, выполненная с помощью серии численных расчетов, показала, что параметр должен быть установлен в соответствии с критерием Хорвица

Кроме того, решая уравнение (7.18.9), можно определить потери а для соответствующих мод, используя стандартное выражение

При этом для данных естественно расположить собственные значения у в порядке уменьшения их абсолютного значения. В частности, главным будет собственное значение, соответствующее

Рис. 7.38. Собственные значения у для аксиально-симметричных мод с индексами 1, 2, 3 и 4 в симметричном неустойчивом резонаторе с Следует заметить, что значения осциллируют около значений, полученных в приближении геометрической оптики. (Из работы Сигмэна и Миллера

основной моде. При главное собственное значение стремится к единице. Действительно, сферическая волна будучи основной модой резонатора с зеркалами бесконечных размеров (см. разд. 7.12), должна сохраняться неизменной и коэффициенты должны быть равны нулю. Для зеркал с конечными размерами величина у уже не равна единице, и если для нескольких мод построить график функции то мы получим зависимость, характеризуемую некоторой периодичностью (рис. 7.38). Заметим, что достигает максимального значения при полуцелых значениях Отсюда следует, что потери основной моды мцнимальны при полуцелых значениях и максимальны при целых. Такое поведение основной моды обусловлено сложным интерференционным взаимодействием между невозмущенной сферической волной и волнами, дифрагированными на краях зеркал [43].