4.11. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВОЛНАМ

В этом разделе мы покажем, что в наиболее общем случае поле, удовлетворяющее условию Зоммерфельда, можно представить в виде суперпозиции цилиндрических мод. Это представление можно использовать как альтернативный метод разложения по плоским волнам вместо рассмотренного в разд. 4.8. Оказывается, что он особенно полезен для полей, симметричных относительно вращения вокруг некоторой оси (например, оси Рассмотрим сначала разложение функции Грина

которое следует из представления Зоммерфельда — Отта для функции Грина и из теоремы сложения Графа для функций Бесселя (см. задачу 8). В разложении представляет собой функцию Бесселя первого рода порядка, и мы используем цилиндрические координаты

Если полученный ряд (4.11.1) подставить в разложение (4.5.4), причем в качестве поверхности интегрирования выбрать плоскость, перпендикулярную оси то поле в точке запишется в виде

Кроме того, поле на поверхности интегрирования можно разложить в ряд Фурье по

(здесь принимает все целые значения, а — однозначная функция своих параметров). Таким образом, мы имеем

здесь через обозначено преобразование Ханкеля порядка с аргументом х (см. книгу [15] и приложение в нашей книге). Теперь можно вычислить коэффициенты фурье-разложения

поля на плоскости с координатой используя выражения (4.10.2) — (4.10.4):

При получении этого результата мы использовали свойство свертки преобразования Ханкеля и тождество двойного преобразования В частности, легко проверить, что при мы имеем Наконец, поле можно записать в виде

где линейный оператор, который преобразует в соответствии с (4.11.5).

Если в используемом выше ряде оставить какой-либо член, то его можно рассматривать как суперпозицию цилиндрических мод следующего вида:

Разложения по плоским и цилиндрическим волнам взаимозаменяемы, так как они применимы к одному и тому же классу полей. При этом представление поля через плоские волны требует трех непрерывных параметров связанных соотношением в то время как для цилиндрических волн необходим один дискретный параметр указывающий на угловую зависимость и непрерывный параметр определяющий зависимость от координаты а именно Радиальная функция зависит как от так и от