7.7. ПОЛЯ ОТ ИСТОЧНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Выше мы показали, что если источник расположен в точке с вещественной координатой то поле, обусловленное этим источником и распространяющееся вдоль цепочки линз, полностью описывается последовательностью фокальных точек, определяемых выражением (7.6.2) (см. пример, иллюстрируемый на рис. 7.16). Менее наглядна физическая интерпретация другого случая, а именно когда положение источника определяется комплексной координатой Вообще говоря, в этой ситуации легче было бы отбросить саму возможность распространения излучения и по аналогии с электромагнитными волнами в

металлических волноводах с частотами ниже частоты отсечки сделать вывод о том, что при комплексных излучение вдоль цепочки линз распространяться не может. Однако известно, что в структурах, подобных волноводной, существует стационарное поле, амплитуда которого вдоль оси волновода экспоненциально убывает. Отсюда можно предположить, что в рассматриваемом случае поле также будет затухать в направлениях, перпендикулярных оптической оси.

С учетом этих предварительных замечаний рассмотрим источник расположенный в точке Р с координатами Излучаемое им поле пропорционально скалярной функции Грина которая в предположении, что величина много меньше определяется формулой Френеля (см. разд. 4.10)

Согласно этому определению, описывает волну, распространяющуюся из точки в точку источника и из точки источника в точку следовательно не удовлетворяет однородным образом излучательному условию Зоммерфельда и не может рассматриваться как уходящая функция Грина.

Записывая тождества

мы имеем

где Выбрав значения положительными и таким образом обеспечив затухание функции в направлениях от оптической оси, получим

В соответствии с выражением (7.7.3) функция соответствует радиальному расстоянию, на котором амплитуда поля уменьшается в раз относительно своего максимального значения. В противоположность сферической волне поле, излучаемое источниками, расположенными в комплексных точках, на сферической поверхности постоянной фазы имеет гауссово распределение амплитуды, и излучение, распространяющееся вдоль по существу ограничено сечением радиусом в плоскости Если величина очень мала, то поле можно представить пучком лучей, распространяющихся параллельно оси Таким образом, переход от вещественных координат к

Рис. 7.18. Вид сбоку на гауссов пучок. Показаны волновые фронты, перетяжка, рэлеевская длина и угол дифракции 0.

комплексным преобразует сферическую волну в пучки более или менее хорошо коллимированных лучей.

Ширина пятна гауссова пучка изменяется с расстоянием в соответствии с выражением

и имеет минимальное значение при что согласуется с определением перетяжки гауссова пучка как характерного параметра. Пучок ограничен поверхностью гиперболоида, пересечения которого с плоскостями, перпендикулярными оси представляют собой окружности радиусом (рис. 7.18). Величину можно рассматривать как расстояние от перетяжки, на котором пучок еще можно считать хорошо коллимированным. Вне участка (обозначаемого также ), который называют, как правило, рэлеевской длиной, из-за дифракционных эффектов пучок начинает расходиться.

По мере удаления от перетяжки гиперболоид ограничивающий контур пучка, все больше принимает форму конуса, угол полураствора которого равен полууглу расходимости пучок в дальней зоне, определяемому выражением

В соответствии с выражением (7.7.5) чем уже перетяжка, тем больше апертура пучка; это согласуется с представлением о том, что поле в дальней зоне является фурье-образом поля в перетяжке. Здесь можно провести аналогию с ситуацией, которая имеет место в случае щелевой антенны для главного лепестка ее диаграммы излучения.

Из выражения (7.7.2а) непосредственно следует, что радиус кривизны волнового фронта в перетяжке становится очень большим. При удалении от перетяжки величина сначала уменьшается и достигает минимального значения на расстоянии а затем вновь увеличивается и в конечном счете становится равной

Проведенное выше рассмотрение предполагает, что векторы строго и полностью определяются функцией Грина Здесь стоит

напомнить, не вдаваясь в подробности, некоторые выводы из векторного анализа волновых пучков, полученные Губау и Шверингом [14]. Используя подход, основанный на решении уравнений Максвелла, эти авторы показали, что волновые пучки только тогда адекватно описываются выражениями, аналогичными (7.7.3), когда они немного расходятся (на несколько градусов). Этот результат согласуется с тем фактом, что только хорошо коллимированные пучки могут быть представлены ТЕМ-волнами, к которым применение скалярной теории является корректным.