5.5. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ДВУМЕРНОГО ОСТРИЯ КАУСТИКИ; МОДЕЛЬ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОГО ОТКЛИКА ПРИ НАЛИЧИИ ДЕФОКУСИРОВКИ И АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В предыдущем разделе мы показали, что структура поля вблизи простой каустики, создаваемая распространяющейся цилиндрической волной, имеющей сферические аберрации, зависит от кривизны каустики. При этом изменение поля в перпендикулярном каустике направлении выражается через интеграл Эйри. Вблизи острия (точки возврата) каустики (см. рис. 2.15 и 2.16 в гл. 2) из-за интерференции трех или более лучей распределение поля становится значительно более сложным. Эту ситуацию можно описать, рассматривая дифракционный интеграл, у которого три стационарные точки функции близки друг к другу. В соответствии с этим мы можем изучить поле, анализируя сравнительный интеграл

Заметим, что отсутствие в данном выражении члена не ограничивает общности рассмотрения, поскольку этот член всегда может быть исключен простым сдвигом координаты

Для того чтобы найти физическую модель, приводящую к интегралу (5.5.1), рассмотрим щель шириной а I, освещаемую однородным полем с фазой — , где - расстояние от фокуса до апертуры, а В служит мерой сферических аберраций [см. разд. 2.15 и 4.13, а также выражение (4.13.34)]. При этом дифрагированное поле записывается в виде

Вблизи фокуса три стационарные точки фазового множителя стремятся слиться в одну точку, а именно с самим фокусом. Это означает, что каустика поля имеет вершину в параксиальном фокусе. Однако мы можем сразу получить уравнение каустики в случае, когда совпадают две стационарные точки. А именно, проанализируем кубическое уравнение которое при имеет вид

где оптические координаты точки, в которой определяется поле. Отсюда мы видим, что два корня совпадают при условии, когда

Если пренебречь вкладом граничных точек, то выражение (5.5.2) можно переписать в виде [19]

где безразмерные координаты, связанные соотношением

Несобственный интеграл был вычислен Перси, и на рис. 5.11 представлены построенные им линии уровня модуля величины 1. Заметим, что главный фокус образуется на оси при Слева от острия каустики имеется система трех лучей, лежащих между двумя ветвями каустики. Интерференция этих лучей приводит к образованию сложной системы максимумов и минимумов, хорошо видных на рис. 5.11. В то же время справа существует лишь одно семейство лучей, так что убывает монотонно.

Вдоль оси функцию можно выразить через функцию параболического цилиндра (см. справочник Абрамовича и Стегана [4], указанный в литературе к гл. 2 настоящей книги):

Вспоминая, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

(кликните для просмотра скана)

можно сразу показать, что

Это уравнение можно сравнить с уравнением Эйри (3.3.2); оба имеют точку поворота в начале координат, но разного порядка. В то время как функция Эйри убывает экспоненциально при в нашем случае при мы имеем