4.15.5. Степени свободы изображения
Рассмотрим оптическую систему К без аберраций, имеющую квадратный зрачок и образующую прямое изображение. Для нее из выражений (4.15.8) и (4.15.10) получаем
здесь ради простоты мы использовали для оптических координат обозначения обычных декартовых координат; 
— это выраженный в оптических координатах боковой размер области поля предмета. Зададимся теперь вопросом, может ли система К полностью и без искажений воспроизвести истинное изображение предметов [44]. Для получения ответа нам необходимо найти решения записанных выше уравнений, в которых интенсивность 
пропорциональна 
. При этом мы получим интегральное уравнение Фредгольма с симметричным ядром, в общем случае комплексным. Поскольку ядро факторизуется в виде произведения двух функций, зависящих лишь от х и у соответственно, собственные функции полученного уравнения можно представить в виде 
где 
это соответствующая собственному значению 
собственная функция интегрального уравнения
В частности, для поля малого предмета, когда 
можно пренебречь фазовым множителем в приведенном ядре. Соответствующее уравнение имеет полный набор собственных функций, которые являются аналогом вытянутых угловых сфероидальных функций [45] [ср. с уравнением (7.16.7) в гл. 7]. Как отмечалось в работах [44, 45], для 
модули србственных значений почти постоянны и равны 
а для 
собственные значения 
резко падают до нуля. Это свойство имеет существенные физические следствия. Раскладывая с использованием набора функций 
произвольную функцию о, имеем
причем поле изображения 
дается выражением
Таким образом, можно сказать, что система К «пропускает» не больше чем 
членов из суммы (4.15.24), так что вся информация, содержащаяся в остальных членах, теряется. Ряд (4.15.24) можно интерпретировать как разложение функции 
по ее составляющим в бесконечномерном гильбертовом пространстве, в котором функции 
образуют базис. При этом каждый из членов ряда представляет собой одну степень свободы предмета. Из выражения (4.15.25) следует, что
число степеней свободы изображения 
не превышает 
Преобразуя а к физическим координатам, имеем
здесь 
протяженность предмета (изображения), 
телесный угол апертуры системы [соответствующий входному (выходному) зрачку, как его видно из плоскости предмета (изображения)]. Выражение (4.15.26) показывает, что пропускная способность оптического прибора увеличивается по квадратичному закону с ростом частоты излучения, если только в системе нет аберраций.
Можно также показать, что величина 
соответствует тому количеству элементов предмета, выбранных через одинаковые интервалы, которых достаточно для определения изображения. Следовательно, если изображение нужно «прочесть» с помощью мозаики из 
микроскопических детекторов, то пропускная способность 
[см. разд. 2.15.3 и выражение (2.15.29)] оптического прибора, используемого для построения изображения, должна быть больше, чем 
Можно показать, что проведенное в данном разделе рассмотрение качественно справедливо для любой формы предмета и зрачков.
Более подробно со всеми этими вопросами читатель может познакомиться в статьях Гори и Гуаттари [46], а также Гори и Рончи [47].
ЗАДАЧИ
(см. скан)
