1.8. СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Развитая в предыдущих разделах теория была основана главным образом на детерминистическом описании электомагнитного поля, т. е. предполагалось, что поле имеет вполне определенное значение даже при конечной ширине частотной полосы излучения (что можно приписать амплитудной или фазовой модуляции). На самом же деле всегда есть некоторая статистическая неопределенность, связанная с любым электромагнитным полем (это касается даже излучения лучших стабилизированных по амплитуде одномодовых лазеров). Эту неопределенность можно учесть, пользуясь методами статистической теории, т. е. определив подходящим образом средние (по времени или ансамблю) от ненаблюдаемых в эксперименте величин. Именно эта программа — определение средних и нахождение их связи с наблюдаемыми — и является содержанием теории когерентности электромагнитного излучения. Почти всюду в этой книге мы будем иметь дело с детерминированными полями (за исключением задач, связанных с некогерентным изображением; см. разд. 4.15). Однако читателя необходимо ознакомить с некоторыми основными элементами теории когерентности, чтобы понять, каким образом по одной определенной реализации поля можно вычислить его значимые статистические средние.
Прежде всего введем понятие аналитического сигнала 
для данной зависящей от времени величины 
[11]. Это понятие оказывается весьма полезным для рассматриваемой теории. Если вещественный сигнал 
допускает фурье-разложение
то аналитический сигнал 
определяется соотношением
откуда сразу следует, что 
Если сигнал монохроматический, т. е. 
то имеем выражение
которое называют также комплексным представлением.
Практическая важность аналитического сигнала связана со способом измерения мгновенной интенсивности оптического сигнала быстрым детектором. Действительно, рассмотрим реальный детектор, имеющий время отклика 
малое по сравнению с обратной
шириной полосы поля доз, но большое по отношению к обратной средней частоте 
В этом случае отклик оказывается пропорциональным следующей величине [19]:
причем выполнение условий
оправдывает то, что записанный выше интеграл называют мгновенной интенсивностью. Запишем теперь выражение
где, как можно предполагать, величина 
изменяется медленно на временном интервале 
Тогда получаем, что с достаточной степенью точности мгновенная интенсивность равна квадрату модуля аналитического сигнала:
Точно так же можно показать, что поток мгновенного вектора Пойнтинга (см. разд. 1.6), усредненный по нескольким периодам электромагнитного поля, удобнее всего выразить как поток вещественной части комплексного вектора Пойнтинга
Модуль вектора Пойнтинга одиночной плоской волны можно определить как
Таким образом, в этом случае модуль вектора Пойнтинга пропорпирнален мгновенной интенсивности 
сравнении величин 
и 
см., например, работу [19]). Коэффициент пропорциональности в (1.8.9) равен произведению обратного волнового сопротивления вакуума 
и показателя преломления 
Вообще говоря, мгновенная интенсивность оптического сигнала имеет флуктуационный характер, т. е. 
является отдельной реализацией статистического ансамбля. В соответствии с этим полное описание требует в принципе определения иерархии средних по ансамблю следующего вида:
и
В стационарных случаях усреднение по ансамблю эквивалентно усреднению по интервалу времени, который больше по сравнению с 
Заметим, что до появления лазеров (в начале 1960-х годов) об определении средних и высших порядков особенно не задумывались, так как не существовало источников излучения, время когерентности которых 
было бы больше, чем время отклика имеющихся детекторов 
Действительно, как видно из выражения (1.8.4), если 
то для всех практических применений интенсивность 
становится детерминированной величиной, а все средние факторизуются, т. е. их можно представить в виде произведения средних низшего порядка.
Если же теперь рассмотреть более общие случаи, когда происходит интерференция двух или более пучков (например, в экспериментах Юнга и Майкельсона; рис. 1.12), то естественно определить корреляционную функцию [20], известную также как функция взаимной когерентности (см. разд. 4.15):
Эта функция так же, как и средние более высокого порядка, а именно
определяет вклад интерференционного члена в сигнал, регистрируемый детектором.
С аналитической точки зрения введенное выше статистическое описание полностью характеризует стохастическое электромагнитное поле. На практике средние электромагнитного поля порядка 
(выше второго) связаны либо с интерференционными экспериментами высшего порядка (как в звездном интерферометре Хэнбери — Брауна и Твисса), либо с экспериментами по счету фотонов [21].
Рис. 1.12. Схемы интерферометров Юнга (а) и Майкельсона (б). 
- зеркала.
