4.7. ДИФРАКЦИОННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ПОЛЕЙ

В некоторых случаях электромагнитное поле можно записать в виде

При этом функция и удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца

что следует из уравнения (1.1.12). Поля принято называть цилиндрическими волнами.

Повторяя те же выкладки, что и при выводе (4.2.10), нетрудно показать, что

где С — замкнутая кривая, охватывающая не содержащий источников участок плоскости При этом двумерная функция Грина удовлетворяет уравнению

В наиболее простом виде функция Грина, удовлетворяющая условию излучения на бесконечности и имеющая сингулярность только при

записывается следующим образом:

где — функция Ханкеля второго рода нулевого порядка. Она имеет следующее асимптотическое представление:

Если цилиндрическая волна удовлетворяет условию Зоммерфельда (4.4.2), то для рассматриваемого плоского случая применимы те же рассуждения, что и в разд. 4.4. При этом мы имеем

здесь бесконечно удаленный контур, отделяющий точку наблюдения от источников. Аналогами соотношений (4.5.3) и (4.5.4) здесь являются следующие:

где аналог функции зрачка (см. разд. 4.5), а угол между векторами . Здесь нормаль к прямой отделяющей область наблюдения от источников, расположенных при При можно использовать приближение (4.7.6) для функции При этом получаем