8.13. ХРОМАТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ

В предыдущем разделе при рассмотрении выражения (8.12.1) мы пренебрегли эффектом искажения, связанным с конечной шириной полосы сигнала и учитываемым квадратичными членами по Этот эффект, который оказывается пропорциональным в многомодовых волокнах, если возбуждающий источник является достаточно монохроматическим, на практике пренебрежимо мал, но в идеальном одномодовом волокне он представляет собой единственный источник искажения. Простой метод изучения этого явления состоит в рассмотрении зависимости групповой скорости от частоты (для данной моды и связанной с этим задержки между самой «медленной» и самой «быстрой» частотами Точнее говоря, можно записать следующее выражение:

которое при обычном допущении, учитываемом в (8.10.6), можно переписать в виде

где в стандартных условиях представляет собой ширину полосы несущей (как правило, эта ширина больше, чем ширина полосы, связанная с модуляцией сигнала).

При выполнении операции дифференцирования в выражении (8.13.2) появляются различные члены, вызванные тем, что постоянная распространения помимо зависимости от со из-за дисперсионных свойств материала волокна (дисперсия материала) проявляет зависимость от частоты, обусловленную волноводной структурой волокна, изготовленного даже из недисперсионного материала (волноводная дисперсия). Кроме того, зависимость от со связана и с изменением профиля показателя преломления с со (дисперсия профиля). В общем случае эти три эффекта связаны между собой сложным образом и разделить их относительные вклады невозможно.

Для того чтобы вычислить , предположим, что постоянную распространения мод в многомодовом волокне вдали от частоты отсечки

можно записать в виде

где показатель преломления материала именно сердцевины, поскольку моды стремятся быть локализованными внутри сердцевины, которая считается бесконечно протяженной. Записывая выражение (8.13.2) через длину волны (в вакууме) мы имеем

здесь Отсюда мы видим, что хроматическая дисперсия сводится к дисперсии материала. В соответствии с (8.13.4) дисперсией материала можно пренебречь в окрестности длины волны для которой выполняется следующее условие:

Вообще говоря, более значимой величиной является не т. е. задержка на единицу длины волокна при единичном интервале Зависимость этой величны от показана на рис. 8.17.

Для одномодового волокна (или многомодового волокна, когда рассматриваемые моды находятся либо вблизи отсечки, либо в диапазоне длин волн когда уже нельзя пренебрегать волноводной дисперсией и дисперсией профиля) выражение (8.13.4) становится неточным и приходится прибегнуть к более сложному методу расчета, указанному в работе Глоджа [15]. Этот метод использовали Гамблинг и др. [16] для расчета одномодового волокна. Он состоит в том, что в выражение (8.13.2) подставляется формула для и после некоторых алгебраических преобразований мы можем записать

где

Рис. 8.17. Дисперсия материала в зависимости от длины волны на примере кварца. Величина соответствует определяемой выражением

[величина определяется выражением (8.9.18)]. Здесь и являются соответственно дисперсией материала, волноводной дисперсией и дисперсией профиля.

Классификация, приведенная выше, продиктована тем, что любой из указаных выше вкладов обращается в нуль, когда соответствующий дисперсионный параметр полагается равным нулю. Например, нетрудно заметить, что выражение для дисперсии материала в случае, когда частоты мод находятся достаточно далеко от отсечки, т. е. и становится эквивалентным выражению (8.13.4), в то время как вблизи отсечки дисперсионные свойства материала оболочки становятся существенными. Для волокна со ступенчатым профилем показателя преломления при можно получить следующее выражение:

Следует заметить, что для любой наперед заданной длины волны величины и не всегда имеют одинаковый знак, а длина волны, при которой имеет пренебрежимо малое значение, в общем случае отлична от Представление об относительных вкладах трех видов дисперсии можно получить из рис. 8.18.