2.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ

Рассмотрим некоторые важные дифференциальные свойства волновых фронтов в однородной среде. Разложение функции вблизи точки приводит к ряду

где тензор как будет видно в дальнейшем, описывает кривизну волнового фронта, а символ «произведения» обозначает операцию, приводящую к скалярной величине Так как в однородной среде из векторных тождеств и следует, что

(без потери общности мы предположили, что

Равенство нулю произведения ненулевого вектора V и ненулевого тензора А, что дает по определению вектор , означает справедливость следующих утверждений, которые нетрудно проверить: по крайней мере одна из трех компонент тензора А в диагональном представлении равна нулю, равны нулю также и компоненты V вдоль главных осей тензора А, соответствующих ненулевым собственным значениям. Это означает, что тензор можно представить в виде [см. уравнение (2.9.2)]

где (главные направления) перпендикулярны Покажем, что описывает кривизну волнового фронта в точке частности, если то волна является локально плоской; если же то она сферическая, а если то волна цилиндрическая.) Подставим представление (2.9.3) в разложение (2.9.1). Тогда с помощью (2.4.2) получим

где все величины в правой части вычисляются в точке Дифференцируя, имеем

Если использовать разложение (2.9.4) для векторов лежащих в пересечении волнового фронта в с плоскостью, проходящей через и параллельной а также с плоскостью, параллельной и 12, то получим соответственно (рис. 2.11)

Таким образом, локально сечения являются параболами с кривизной соответственно. Кроме того, кривизна считается

Рис. 2.11. Дифференциальные характеристики волнового фронта. Индикатриса Дюпина — геометрическое место точек, лежащих на касательной плоскости на расстоянии от точки касания, пропорциональном радиус кривизны сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной этой поверхности и проходящей через точку индикатрисы. 1 — индикатриса Дюпина; 2 — плоскость, касательная к волновому фронту; 3 — волновой фронт; 4 — главные центры кривизны волнового фронта.

положительной, если соответствующий центр кривизны лежит на противоположной стороне по отношению к направлению луча Поэтому оба главных радиуса кривизны

положительны, если волновой фронт является вогнутым для наблюдателя при приближении к волновому фронту вдоль направления Обратная ситуация имеет место для выпуклых волновых фронтов. В заключение можно сказать, что, согласно принятому нами соглашению, положительны для расходящейся волны и отрицательны для сходящейся.

Теперь уже можно получить точное выражение для Для этого заметим, что при бесконечно малом сдвиге уравнения (2.9.4) и (2.9.5) принимают вид соответственно

В частности, последнее равенство означает, что векторы компланарны, если параллелен или Используя простое геометрическое построение, докажем теперь, что единичные векторы постоянны вдоль луча (рис. 2.12). Рассмотрим две точки вектор параллельный и луч, проходящий через точку Так как параллелен то вектор компланарен с векторами Рассмотрим теперь точку и вектор Поскольку эквидистантны по отношению к волновому фронту, проходящему через они лежат на одном и том же волновом фронте. Кроме

Рис. 2.12. Главное сечение волнового фронта, проходящего через точку Вектор параллелен и компланарен с векторами т. е. параллелен главному направлению волнового фронта, проходящего через точку

того, параллелен так как соотношения (2.9.9) и параллельности векторов Кроме того, компланарность векторов означает, что и 30 также компланарны, т. е. вектор направлен вдоль Следовательно, поскольку параллелен а значит, и мы имеем Таким образом, вектор является постоянным вдоль луча, распространяющегося в однородной среде; очевидно, что это же справедливо и для Отсюда, учитывая постоянство вдоль соответствующих лучей, из уравнения (2.9.9) имеем

откуда следует

Аналогичные выкладки можно повторить и для направления для тензора мы получим следующую простую матричную запись (в системе координат с ортами

Здесь главные радиусы кривизны волнового фронта, проходящего через начало координат (рис. 2.13), где Соответствующие центры кривизны (главные центры кривизны) лежат при

Рис. 2.13. Главные плоскости и центры кривизны волнового фронта трубки лучей, распространяющегося в однородной среде. 1 — центры кривизны; 2 — главные сечения; 3 — главные плоскости.

Теперь можно получить замечательное выражение, описывающее эволюцию амплитуды вдоль луча. Действительно, поскольку

выражение (2.5.5) принимает вид

где квадратные корни нужно выбирать вещественными положительными или чисто мнимыми с положительной мнимой частью. Для сферической волны Фаза вдоль луча при прохождении через фокус претерпевает скачок, равный Этот эффект наблюдал еще в прошлом веке, и с тех пор он называется фазовой аномалией. Как будет строго показано в гл. 4, сферическая волна с конечной апертурой испытывает быстрое, но непрерывное изменение фазы на Вдоль оси фазовые аномалии периодически изменяются между (см. рис. 4.23).

Можно привести следующие качественные соображения, объясняющие скачок фазы. Вдоль луча фаза описывается приближенно выражением

где «эффективная» компонента волнового вектора вдоль направления распространения. Если амплитудное распределение волны почти однородно на плоскости, перпендикулярной то к Вблизи центра кривизны волна сильно неоднородна и где эффективный поперечный волновой вектор. Таким образом, когда луч пересекает центр кривизны, фаза получает положительное приращение. Точнее говоря, больше, чем на где число центров кривизны, заключенных между и Все это остается справедливым лишь в том случае, если в цецтрах кривизны не имеется источников; в противном случае пришлось бы рассматривать два физических луча, распространяющихся вдоль каждой прямой, пересекающей центры кривизны.