1.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ С ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

В предыдущем разделе основная временная зависимость амплитуды поля в комплексном представлении учитывалась множителем Для статической и слабодиспергирующей (в пределах ширины линии излучения) среды это предположение не ограничивало общности рассмотрения, поскольку общее решение могло быть представлено в виде суперпозиции монохроматических решений. Принцип суперпозиции применим даже для дисперсной, но линейной среды, однако он нарушается, как только становятся существенными нелинейные эффекты. Следует заметить, что благодаря обычно выполняющемуся соотношению связывающему спектральную ширину поля и его среднюю частоту во многих случаях выражение для поля удается факторизовать, т. е. представить его в виде произведения на медленно меняющуюся во времени амплитуду. Иногда подобный прием оказывается допустим и в координатном пространстве, если поле можно приближенно представить плоской волной (см., например, разд. 2.1).

Взаимодействие излучения с материальной средой обычно описывают вектором индуцированной поляризации определяемым как дипольный момент единицы объема вещества, возникающий под действием электрического поля Учет поляризации приводит к соотношению

где в общем случае сложная функция электрического поля Почти во всех случаях, которые мы будем рассматривать, соотношение между можно записать в простом виде (для удобства обозначений мы не выписываем в явном виде зависимости всех рассматриваемых величин от пространственных координат):

где функция которая зависит лишь от параметров среды, в силу принципа причинности должна обращаться в нуль при Подставляя (1.2.2) в (1.2.1) и применяя преобразование Фурье по времени к обеим частям получаемого выражения, находим материальное соотношение

Фурье-образ произвольной функции обозначим через и

определим его следующим выражением:

Выражение (1.2.3) позволяет выразить диэлектрическую проницаемость через диэлектрическую восприимчивость и показатель преломления

Зависимость от со обычно называют законом дисперсии.

Простое линейное Соотношение (1.2.2) применимо в случае малых интенсивностей поля и веществ с низкой плотностью и является первым приближением общего выражения, связывающего В тех случаях, когда в среде присутствуют временные флуктуации, медленные по сравнению с характерным временем изменения функции выражение (1.2.3) можно обобщить, включая в него параметрическую зависимость от времени [3], т. е. вместо нужно использовать медценно меняющуюся во времени восприимчивость (В частности, это приводит к уширению спектра первоначально монохроматического излучения, распространяющегося во флуктуирующей среде.) Подобное рассмотрение применимо для описания оптического эффекта Керра (разд. 8.19).

Зависимость диэлектрической восприимчивости и, следователно, показателя преломления от частоты называют дисперсией среды (рис. 1.1). Она ответственна за искажение сигнала в прозрачных средах [в которых можно рассматривать как вещественную величину; см. разд. 1.3]. Мы детально рассмотрим этот эффект в гл. 8 в связи с изучением распространения света в оптических волокнах. Дисперсия приводит к различию групповых скоростей

где вещественный показатель преломления прозрачной среды, в которой распространяются различные частотные компоненты

Рис. 1.1. Качественная зависимость показателя преломления от частоты. Заштрихованные области соответствуют резонансам.

электромагнитного поля. Следует заметить, что, хотя в оптике удобно выделить частотные области нормальной и аномальной дисперсии, в которых показатель преломления увеличивается или уменьшается соответственно с частотой или в современной литературе по оптическим волокнам эти области нередко определяют как такие, в которых или области, в которых является соответственно убывающей или возрастающей функцией частоты разд. 8.19).

Как показано на рис. 1.1, область аномальной дисперсии заключена между максимумом и минимумом функции В небольшом частотном интервале, центр которого совпадает с резонансной частотой элементарных систем, составляющих среду, среда оказывается сильно поглощающей, т. е. возникает очень большая мнимая восприимчивость Исследование этой частотной области требует микроскопического описания. Пример такого подхода приведен в разд. 1.2.2 в связи с рассмотрением распространения волн в среде резонансных двухуровневых систем.

В случае когда электрическое поле становится настолько сильным, что нельзя пренебрегать вкладом нелинейности, простое соотношение (1.2.2) необходимо модифицировать. При этом в большинстве случаев понятие показателя преломления становится бессмысленным. Как следствие, функциональная зависимость от должна определяться отдельно для каждого конкретного нелинейного процесса, и подставлять ее в уравнения Максвелла необходимо с помощью соотношения (1.2.1). Примеры этого мы рассмотрим в следующем разделе, однако сразу заметим, что, несмотря на явно нелинейную природу оптического эффекта Керра (см. разд. 8.19), понятие коэффициента преломления сохраняет свою применимость и в этом случае.