6.5.3. Первый член дебаевского разложения

При уравнение (6.5.8) сводится к следующему

Рис. 6.8. Комплексная плоскость на которой показаны переменные определяемые выражениями (6.5.13); крестиками обозначены полюсы а крестиками в кружках — полюсы Контур интегрирования для интеграла из выражения (6.5.14) обозначен жирной линией, параллельной вещественной оси.

где

Поскольку интеграл в (6.5.14) представляет поле в дальнейшем мы будем его опускать, заменим на Кроме того, при во всей комплексной плоскости, за исключением области между в которой" — как Используя асимптотическое представление (4.12.8) для функций можно установить, что подынтегральное выражение первого интеграла в (6.5.14) в первом квадранте комплексной плоскости равно нулю. Таким образом, путь интегрирования можно сдвинуть в сторону положительной мнимой оси с охватом полюсов что в итоге дает

Здесь вычеты функции в полюсах Теперь можно использовать представление

и переписать интегралы в (6.5.16) в виде

Вычисление этих интегралов можно еще более упростить, используя то обстоятельство, что подынтегральное выражение во втором квадранте обращается в нуль при Следовательно, путь интегрирования для всех членов можно сдвинуть в положение с охватом полюсов . В итоге получим следующее выражение:

где — вычеты функции в полюсах член ряда Можно показать что при значения вычетов пренебрежимо малы (см. работу Нуссенцвейга указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги).

Подынтегральная функция в интеграле, представляющем

стремится к нулю на бесконечности при всех значениях а для контур интегрирования сдвигается к Таким образом, мы имеем следующее выражение:

где контур интегрирования, охватывающий полюсы и пересекающий дважды вещественную ось, первый раз между точками и и второй раз между Подынтегральное выражение в интеграле (6.5.20) в каждом из этих интервалов имеет по одной седловой точке (рис. 6.9), а именно

Седловые точки и относятся к лучам, падающим на цилиндр с прицельными параметрами (не путать с индексом В частности, прицельный параметрр относится к тем падающим лучам, которые испытывают геометрическое отражение от цилиндра и проходят через точку (рис. 6.10) [например, прир — в то время как параметр соответствует лучам, которые достигают точки не испытав влияния препятствия.

Если контур изменить таким образом, чтобы он проходил через седловые точки, то получим асимптотическую оценку интеграла (6.5.20). Таким образом, в геометрической оптике функцию нетрудно найти, умножая поле соответствующего луча на френелевский коэффициент отражения.

Рис. 6.9. Путь интегрирования для вычисления геометрооптического вклада в поле, дифрагированное на цилиндре.

Рис. 6.10. Вклад седловой точки в поле с точки зрения геометрической оптики; прицельный параметр для луча, достигающего точки после отражения его от цилиндра в точке

Если зафиксировать значение угла и начать уменьшать то расстояние между двумя седловыми точками будет уменьшаться до тех пор, пока они не сольются в одну; последнее произойдет в том случае, когда точка располагается на границе тени. По мере дальнейшего продвижения в область тени вклад от стремится к нулю (см. работу Нуссенцвейга [22], указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги).