Главная > Дифракция и волноводное распространение оптического излучения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.14.2. Векторный потенциал сферических волн

Рассмотрим векторное поле Гельмгольца и расположим начало координат в точке наблюдения Нетрудно доказать, что [33]

Действительно, вычисляя ротор вектора получаем следующее выражение:

где использовано определение (4.14.1) и векторное тождество

Применяя затем выражение (4.14.1), т. е. записывая

с помощью подстановки этого выражения в (4.14.5) нетрудно показать, что

В случае когда поле создается сферической волной, выходящей из точки где является функцией величины Поскольку выражение (4.14.9) преобразуется к виду

Далее можно показать, что подынтегральное выражение в этой формуле является полным дифференциалом (см. гл. I в книге Борна и Вольфа [11], с. 410 русского издания, цитируемой в литературе к гл. 1 настоящей книги):

где — угол между векторами (рис. 4.24). Отсюда следует, что

где Векторный потенциал становится сингулярным, если точка лежит на векторе соединяющем источник с точкой наблюдения Таким образом, функция сингулярна только в тех случаях, когда лежит в области, достижимой лучами, выходящими из источника и проходящими сквозь апертуру.

Используя затем простые векторные преобразования, можно показать, что

так что выражение (4.14.4) можно заменить на где Используя цилиндрическую систему координат, у которой ось параллельна вектору мы имеем (рис.

где единичный вектор, перпендикулярный оси и вектору Кроме того, рассмотрим диск имеющий радиус перпендикулярный вектору и расположенный в точке

Рис. 4.24. (см. скан) Геометрические представления, связанные с преобразованием поверхностного дифракционного интеграла к интегралу по контуру.

пересечения с апертурой. Тогда с помощью (4.14.14) можно написать интеграл

который стремится к нулю при С учетом этих результатов мы имеем [см. (4.14.4)]

Здесь при наблюдении из точки обход по замкнутым контурам (граница апертуры) и (граница диска) производится против часовой стрелки. Если то

Последнее выражение следует из определения использованного в (4.14.14).

Кроме того, для вектора соединяющего точку с границей диска имеем так что можно написать

Наконец, переходя к сферическим координатам, получаем окончательное выражение:

где угловая координата, соответствующая вращению против часовой стрелки вектора соединяющего точку наблюдения с границей апертуры, а угол, образуемый векторами Множитель С равен единице в освещенной в приближении геометрической оптики зоне и нулю в области тени и определяет таким образом поле Мы показали, что результирующее выражение (4.14.19) получается из выражения (4.14.17), причем

где все переменные со штрихом относятся к границе апертуры. Поле представляет собой вклад волны, дифрагированной на границе.

В тех случаях, когда сферическая волна сводится к плоской можно показать, что выражение (4.14.19) принимает вид

С физической точки зрения поле в представляет собой суперпозицию поля в отсутствие экрана и поля граничной дифрагированной волны распространяющейся от краев апертуры. В области

тени первое слагаемое в (4.14.21) исчезает, так что полное поле совпадает с

Применимость данных выше выражений строго доказана для сферических волн. Однако можно показать [32], что они могут быть использованы для оптических лучей в пределе малых длин волн. В разд. 5.10 мы будем пользоваться ГДВ-представлением полей, дифрагированных на апертуре, для получения асимптотического разложения в пределе малых длин волн.

1
Оглавление
email@scask.ru