4.14.2. Векторный потенциал сферических волн
Рассмотрим векторное поле Гельмгольца
и расположим начало координат в точке наблюдения
Нетрудно доказать, что [33]
Действительно, вычисляя ротор вектора
получаем следующее выражение:
где использовано определение (4.14.1) и векторное тождество
Применяя затем выражение (4.14.1), т. е. записывая
с помощью подстановки этого выражения в (4.14.5) нетрудно показать, что
В случае когда поле создается сферической волной, выходящей из точки
где
является функцией величины
Поскольку
выражение (4.14.9) преобразуется к виду
Далее можно показать, что подынтегральное выражение в этой формуле является полным дифференциалом (см. гл. I в книге Борна и Вольфа [11], с. 410 русского издания, цитируемой в литературе к гл. 1 настоящей книги):
где
— угол между векторами
(рис. 4.24). Отсюда следует, что
где
Векторный потенциал становится сингулярным, если точка
лежит на векторе
соединяющем источник с точкой наблюдения
Таким образом, функция
сингулярна только в тех случаях, когда
лежит в области, достижимой лучами, выходящими из источника и проходящими сквозь апертуру.
Используя затем простые векторные преобразования, можно показать, что
так что выражение (4.14.4) можно заменить на
где
Используя цилиндрическую систему координат, у которой ось
параллельна вектору
мы имеем (рис.
где
единичный вектор, перпендикулярный оси
и вектору
Кроме того, рассмотрим диск
имеющий радиус
перпендикулярный вектору
и расположенный в точке
Рис. 4.24. (см. скан) Геометрические представления, связанные с преобразованием поверхностного дифракционного интеграла к интегралу по контуру.
пересечения
с апертурой. Тогда с помощью (4.14.14) можно написать интеграл
который стремится к нулю при
С учетом этих результатов мы имеем [см. (4.14.4)]
Здесь при наблюдении из точки
обход по замкнутым контурам
(граница апертуры) и
(граница диска) производится против часовой стрелки. Если
то
Последнее выражение следует из определения
использованного в (4.14.14).
Кроме того, для вектора
соединяющего точку
с границей диска
имеем
так что можно написать
Наконец, переходя к сферическим координатам, получаем окончательное выражение:
где
угловая координата, соответствующая вращению против часовой стрелки вектора
соединяющего точку наблюдения
с границей апертуры, а
угол, образуемый векторами
Множитель С равен единице в освещенной в приближении геометрической оптики зоне и нулю в области тени и определяет таким образом поле
Мы показали, что результирующее выражение (4.14.19) получается из выражения (4.14.17), причем
где все переменные со штрихом относятся к границе апертуры. Поле
представляет собой вклад волны, дифрагированной на границе.
В тех случаях, когда сферическая волна сводится к плоской
можно показать, что выражение (4.14.19) принимает вид
С физической точки зрения поле в
представляет собой суперпозицию поля
в отсутствие экрана и поля граничной дифрагированной волны
распространяющейся от краев апертуры. В области
тени первое слагаемое в (4.14.21) исчезает, так что полное поле совпадает с
Применимость данных выше выражений строго доказана для сферических волн. Однако можно показать [32], что они могут быть использованы для оптических лучей в пределе малых длин волн. В разд. 5.10 мы будем пользоваться ГДВ-представлением полей, дифрагированных на апертуре, для получения асимптотического разложения в пределе малых длин волн.