2.15.1. Точечные, угловые и смешанные характеристики

Для анализа качества изображения, создаваемого в системе последовательных искривленных преломляющих поверхностей, необходимо проследить за достаточно большим числом лучей, интегрируя уравнения лучей в наиболее удобной системе координат. Кроме того, может потребоваться последовательное вычисление с помощью (2.11.22) центров кривизны пучков лучей в отдельных однородных областях пространства. Эти расчеты можно выполнить очень быстро с помощью специальных компьютерных программ. Однако для предварительного выбора параметров линзы необходимо провести приближенный аналитический расчет аберраций. Этому существенно поможет применение изящной теории аберраций, предложенной Гамильтоном. Преимущества этого метода основаны на возможности получения точных результатов исходя лишь из симметрии системы.

Рис. 2.31. Оптический путь между двумя точками и расположенными соответственно в пространстве предмета и изображения.

Главным параметром в методе Гамильтона, называемом гамильтоновой оптикой, является длина оптического пути между двумя произвольными точками системы К (рис. 2.31). Это расстояние называют точечной характеристикой и обозначают как Она совпадает с эйконалом в точке лучевого поля от источника, расположенного в (или наоборот). Непосредственно из уравнения эйконала (2.3.1) следует, что градиентом величины V по координате является вектор, направленный по лучу через точку и имеющий модуль Градиент направлен вдоль луча для точек, лежащих в пространстве изображения, и противоположно ему для точек в пространстве предмета. В дальнейшем мы будем считать, что располагается в пространстве предмета, а в пространстве изображения, так что

Теперь удобно определить оптические направляющие косинусы с помощью которых уравнения (2.15.1) можно переписать в скалярной форме:

Здесь декартовы координаты точки в системе координат координаты точки относящиеся, вообще говоря, к другой системе. Обозначая буквами с точкой производные по из уравнения лучей (2.4.6) имеем

Величины являются сопряженными переменными в функции Гамильтона в общем случае представляет собой явную функцию координаты В соответствии с этим луч ведет себя так же, как зависящая от времени система с двумя степенями свободы. Следовательно, мы можем ввести фазовое пространство, образуемое точками с координатами Для систем, описываемых гамильтонианом, справедлива теорема Лиувилля [25, 26], которая гласит, что объем элемента фазового пространства сохраняется постоянным за время его эволюции. В нашем случае объем постоянен вдоль луча. В соответствии с этим определитель лучевой матрицы, которую мы рассмотрим в разд. 2.15.3, должен быть равен единице. Таким образом, форма области, занимаемой пучком лучей в фазовом пространстве, при прохождении через оптический прибор изменяется, но объем ее сохраняется постоянным. Следует заметить, что в параксиальном приближении это свойство позволяет определить инвариант Лагранжа [см. (2.15.27)].

Анализ распространения в фазовом пространстве является весьма общим методом при проектировании систем, связанных с транспортировкой пучков частиц. Каждый элемент (например, квадруполь) таких систем характеризуется областью захвата. Только те пучки, объем фазового пространства которых попадает в области захвата отдельных элементов, могут пропускаться системой [27].

Если не рассматривать афокальных систем, используемых, например, в качестве расширителей пучков, то для определения луча достаточно шести координат: или же величин направляющих косинусов заданных вместе Вообще говоря, можно установить взаимно-однозначное соответствие между двумя наборами переменных: Чтобы можно было использовать второй комплект переменных, необходимо ввести другую характеристическую функцию, а именно функцию называемую угловой характеристикой, которая связана с соотношением

При малых сдвигах точек с помощью выражений (2.15.2) можно записать дифференциал функции в виде

Учитывая.затем соотношение между мы

имеем

Из простого геометрического рассмотрения следует, что является оптической длиной луча между основаниями перпендикуляров, опущенных на луч из начал систем координат, заданных соответственно в пространстве предмета и изображения. В частности, для осесимметричных систем и систем координат (см. рис. 2.31), у которых оси совпадают с оптической осью, зависит только от следующих комбинаций направляющих косинусов:

В некоторых задачах, встречающихся, например, в связи с дифракционным анализом оптических приборов (разд. 4.13), удобно использовать смешанную характеристику определяемую следующим образом:

Для этой характеристики мы имеем