4.14. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К КОНТУРНЫМ

В тех случаях, когда область поля ограничена апертурой, для удобства вычислений и для более ясного интуитивного представления дифрагированной волны удобно выразить двумерные дифракционные интегралы через интеграл по соответствующим контурам, ограничивающим апертуры. Для этого можно использовать свойства вектора Гельмгольца [выражение (4.2.11)], рассматриваемого в виде функции координаты для заданной координаты точки, в которой определяется поле

Этот вектор удовлетворяет соотношению [выражение (4.2.12)] в области, не содержащей точки и сингулярностей (источников) поля. Это позволяет ввести векторный потенциал так, чтобы

где функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона в области, в которой функция регулярна, так что функция учитывает сингулярности

Вектор разумеется, нельзя определить однозначно. Если доба вить к данному градиент произвольной скалярной функции то ротор нового потенциала будет вновь равен Как будет ясно в дальнейшем, эта неоднозначность не мешает использовать для определения поля, дифрагированного на апертуре. С помощью (4.14.2) дифракционный интеграл (4.2.10) можно теперь переписать в виде

где использовано предположение о равенстве нулю поля на некоторой поверхности, удаленной от апертуры А. В этом выражении представляет собой границу апертуры А, ориентированную таким образом, что положительным направлением движения по контуру считается то, при котором обход совершается против часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней (по отношению к ) нормали Функция зависит от сингулярностей функции на А. Таким образом, поле и можно рассматривать как суперпозицию волны, приходящей от границы апертуры, с волной, которая зависит только от поля во внутренней области.

4.14.1. Историческое отступление

Представление поля в виде контурного интеграла основывается на наших интуитивных знаниях о том, какое влияние оказывают границы апертуры. Из эксперимента известно, что при наблюдении из области тени границы освещаемой апертуры кажутся светящимися. Это наблюдение обсуждалось уже Ньютоном, который объяснил его отталкиванием корпускул света границами [И. Ньютон, «Оптика», кн. 3, наблюдение I, рис. 1 и 2]. Позднее Юнг сформулировал волновую теорию, согласно которой дифрагированная волна образуется при отражении падающей волны на элементах границы, вызывающей дифракцию. Френель же объяснял дифракционные эффекты на основе принципа Гюйгенса; если поле определяется в столь далекой области от геометрической тени, что открыты фактически все зоны Френеля (см. разд. 4.2.2), то освещенность остается той же самой, что и в отсутствие препятствий. И наоборот, если поле определяется в точке, лежащей глубоко в области геометрической тени, то вклад от колец низкого порядка отсутствует. Как следствие, сумма вкладов от частично освещенных колец равна приблизительно нулю, поскольку поле каждого из них компенсируется входящими с другим знаком полями от половинок ближайших соседей. В промежуточной области между светом и тенью из-за суперпозиции полей от разных колец можно ожидать осциллирующего поведения интенсивности.

В 1896 г. Зоммерфельд [31] получил строгое решение задачи о дифракции на полуплоскости. Используя его результат, можно показать, что суммарное поле состоит из волны, полученной в приближении геометрической оптики, и волны, дифрагированной на границе. Впоследствии, в 1917 г., Рабинович заново рассчитал скалярный дифракционный интеграл для произвольной апертуры, освещенной сферической волной, а также показал, что его можно представить в виде интеграла

по контуру и поля, полученного в приближении геометрической оптики.

Параллельно этим исследованиям Келлер с успехом обобщил понятие луча, включив в рассмотрение и лучи, дифрагированные на границе апертуры. Келлер вывел свои результаты, исходя из обобщенного принципа Ферма, применимого для лучей, попадающих в точку наблюдения с границы апертуры, и, подчеркивая геометрическую основу такого подхода, назвал его геометрической теорией дифракции (см. гл. 6). Эта теория оказала значительное влияние на современную теорию дифракции, позволив, в частности, выйти за пределы скалярной теории и отказаться от приближения Кирхгофа, состоящего в предположении о том, что поле на апертуре равно своему значению в отсутствие экрана при наличии тех же источников. Кроме того, геометрическая теория дифракции позволяет учесть различные возможные формы и электрические свойства клиньев (кромок), ограничивающих апертуру. Эта теория применима также для описания дифракции на гладких препятствиях, освещаемых скользящим пучком, т. е. она применима в случаях, когда возбуждаются поверхностные волны.