5.8. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Займемся теперь вычислением интеграла возникающего в связи с использованием цилиндрических координат. Обычно такой интеграл записывается в следующем виде:

[см., например, выражение (4.11.4)], где зависят от величины на опорной плоскости . В частности, для опорного поля с вращательной симметрией, обращающегося в нуль вне границ круглой апертуры радиусом равны соответственно произведению амплитуды на фазовый множитель и эйконалу Действительно, в этом случае правые части выражений (5.8.1) и (4.11.19) совпадают, если .

Если записать следующим образом (см. справочник Абрамовича и Стегана [4, с. 364], указанный в литературе к гл. 2 настоящей книги):

где Р и Q - медленноменяющиеся функции перменной которые при больших равны соответственно единице и нулю, то можно переписать в виде [см. статью Саусуэлла (1978) в библиографии]:

причем для вращательно-симметричных полей мы имеем

Главные члены разложения интегралов можно вычислить с помощью выражений (5.2.32) и (5.2.36), и при использовании соотношения получаем

где точки стационарной фазы функций соответственно а третий член представляет собой вклад от граничной точки Другая граница не дает вклада в поскольку при Записанные выше выражения будут использованы в разд. 7.18 при вычислении поля в неустойчивых резонаторах.

Как видно из выражения (5.8.5), уменьшение амплитуды поля с расстоянием до апертуры определяется по существу множителем

который отличается от аналогичной величины [см. выражение (5.2.43)], полученной для цилиндрических полей, дополнительным множителем Это обусловлено тем, что в рассматриваемом случае волновые фронты в отличие от цилиндрических волновых фронтов имеют два различных конечных радиуса кривизны.

Если точка наблюдения лежит на оптической оси то удобнее обратиться непосредственно к интегралу (5.8.1), который принимает вид

где волна предполагается вращательно-симметричной. Если разд. 5.5), причем то выражение (5.8.7) можно переписать следующим образом:

Здесь число Френеля апертуры, комплексный интеграл Френеля [выражение (5.3.5)], причем для простоты мы предположили, что

Этот результат позволяет сделать некоторые важные заключения о свойствах поля. Если расстояние от точки наблюдения до фокуса таково, что

то интеграл Френеля можно аппроксимировать его асимптотическим значением [выражение (5.3.15)] и таким образом получить выражение, совпадающее с полем, вычисленным в приближении геометрической оптики. И наоборот, отрезок оптической оси, на котором нарушается приближение геометрической оптики, имеет длину определяемую выражением

При используя первый интеграл в (5.8.8), нетрудно вычислить поле, амплитуда которого дается выражением

В частности, если отверстие освещается плоской волной выражение (5.8.11) принимает вид

Это означает, что интенсивность поля осциллирует, уменьшаясь до нуля при а при больших расстояниях стремится к нулю как Отсюда следует, что дифрагированное на отверстии поле ведет себя практически как сферическая волна, только если расстояние до точки наблюдения много больше, чем Таким образом, если число Френеля отверстия относительно точки наблюдения, то поле на оси равно нулю при и описывается сферической волной лишь при

Можно рассмотреть также и комплексные :

Этот случай соответствует освещению апертуры гауссовым полем при наличии сферических аберраций. При этом поле на оси не является более осциллирующей функцией расстояния и может быть вычислено непосредственной подстановкой комплексного аргумента в интегралы Френеля.

Аналогичные осцилляции можно наблюдать вдоль оптической оси, когда волна, возмущенная сферическими аберрациями третьего и пятого порядка, подходит к фокусу линзы Тессара, как показано на рис. 5.19 (заимствованном из работы Фоке [24]).

Рис. 5.19. Интенсивность поля на оптической оси вблизи фокуса линзы Тессара, вычисленная Фоке [24а] для трех апертур Безразмерный параметр А соответствует определенной в (4.13.21) оптической координате и, относящейся к расстоянию между фокусом бокового луча и параксиальным фокусом: где продольная сферическая аберрация бокового луча с отклонением от оси на высоту Распределение поля вычислялось с учетом первичных и вторичных сферических аберраций в предположении, что зависит от в виде Остальные параметры: при