2.11.2. Главные направления и радиусы кривизны преломленного волнового фронта

Для вычисления радиусов кривизны преломленного волнового фронта введем единичный вектор , перпендикулярный плоскости падения (см. рис. 2.19, 2.20). Так как из (2.9.3) следует, что главные направления ортогональны к т.е. можно записать

где

Рис. 2.20. Взаимная ориентация главных направлений падающего, отраженного и преломленного волновых фронтов. 1 — падающий волновой фронт; 2 — отраженный волновой фронт; 3 — преломленный волновой фронт; 4 — поверхность разрыва.

представляет собой единичный вектор, параллельный плоскости падения. Параметр а стремится к бесконечности, если совпадают с главными направлениями падающего луча.

Заметим теперь, что функцию равенство нулю которой определяет границу разрыва, всегда можно выбрать таким образом, что Отсюда следует «ортогональность» между [см. уравнение (2.9.2)], что позволяет, используя определение (2.11.5), написать следующее выражение:

где в полной аналогии с (2.11.15). Окончательно получаем

причем

Таким образом, соотношение (2.11.13) можно записать в виде

Кроме того, векторное умножение (2.11.9) на и дает выражение

с помощью которого нетрудно доказать [11, 13], что соотношение (2.11.13) удовлетворяется, только если

Отсюда можно определить величины Для определения главных направлений преломленного луча необходимо диагонализовать т.е. начать вычисление с соотношения (2.11.18) и представить этот тензор в виде Таким образом

[13], получаем следующие соотношения:

где угол, на который необходимо повернуть векторы в плоскости таким образом, чтобы они совпадали с векторами соответственно Главными радиусами кривизны преломленного луча являются Мы показали (см. разд. 2.9), что понятие радиуса кривизны связано с соотношением в то время как здесь мы имеем Это расхождение учитывается множителями в соотношениях (2.11.15) и (2.11.18).

Подводя итог, можно заключить, что главные направления и радиусы кривизны волнового фронта сразу за границей, на которой происходит преломление, можно найти, применяя последовательно следующие три операции:

1) преобразование величин а с помощью (2.11.15);

2) использование формул Нейсли (2.11.22);

3) преобразование величин с помощью соотношений (2.11.23).

Все выкладки можно повторить и для отраженного волнового фронта. В частности, поскольку имеем Кроме того, плоскость падения совпадает с плоскостью отражения Первое и третье утверждения составляют закон преломления.