Главная > Дифракция и волноводное распространение оптического излучения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на видимую простоту, интегралы Гельмгольца — Кирхгофа и Гюйгенса — Френеля можно вычислить аналитически только в ограниченном числе случаев; вообще же необходимо привлекать численные методы.

Применимость всех численных методов ограничена тем, что при вычислениях можно использовать лишь конечный набор значений поля на опорной плоскости. Это приводит к появлению ошибок, особенно существенных в тех случаях, когда подынтегральные функции являются быстроменяющимися. К сожалению, в большинстве случаев дифракционная картина в дальней области при рассеянии света на препятствиях состоит из контрастных и узких пиков. При этом численный подход становится крайне трудоемким из-за необходимости использования множества конкретных значений поля.

Альтернативой численным методам стала очень популярная техника, основанная на асимптотическом вычислении интегралов [1]. Есть несколько причин такого успеха. Это и простота выражений, и высокая степень точности, достигаемая за счет удержания необходимого числа членов асимптотического ряда, и возможность разделения области поля на участки, в которых предсказывается конкретное поведение поля. Но наиболее важна возможность использования более точного представления поля на опорной апертуре.

Из всех перечисленных преимуществ последнее нуждается в дополнительных комментариях. Обычно наиболее важной задачей является вычисление истинного распределения поля на опорной поверхности, поскольку, если поле здесь известно, то мы можем его определить и во всем пространстве. Вообще говоря, эту задачу нельзя решить точно, и поэтому в большинстве случаев используется приближенное распределение поля, вычисленное или в отсутствие препятствий, если апертура достаточно велика по сравнению с длиной волны (приближение Кирхгофа), или в других случаях без учета апертуры (приближение Бете). При использовании приближения Кирхгофа поле считается

равным нулю на непрозрачных участках экрана и равным невозмущенному значению на самой апертуре. Это распределение в дальнейшем можно улучшить, используя итерационную процедуру, состоящую в вычислении поля с использованием на каждом шаге значения поля на предыдущем шаге. С практической точки зрения такая стратегия требует для полей изучения простых выражений, допускающих асимптотические представления. С некоторыми приближениями данный метод применяется, например, для вычисления дифракции на щели. Этот и аналогичные случаи привели к новому направлению, в котором, по сути дела, асимптотические представления являются составными блоками выражений для электромагнитных полей.

Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификациями методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна и стационарной фазы Первый из них более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя.

В простейшем случае дифракционный интеграл сводится к фурье-преобразованию следующего вида:

Если функция, непрерывная вместе со своими производными порядка меньше, чем то при больших к можно определить функцию последовательно, применяя интегрирование по частям:

Последний интеграл в правой части этого выражения можно оценить, используя теорему Римана — Лебега, согласно которой если то мы имеем

Следовательно, процедура интегрирования по частям позволяет вычислить фурье-преобразование вплоть до членов максимальное целое число, для которого интеграл от конечен. Это, разумеется, приводит к сильным ограничениям класса рассматриваемых функций. Например, для функции такое вычисление при возможно лишь до и самое лучшее, что можно сделать, так это записать функцию в виде

В дальнейшем мы покажем, что можно представить в виде асимптотического ряда по большому параметру к, так что члены высшего по сравнению с порядка можно получить путем обобщения процедуры интегрирования по частям.

В некоторых случаях встречаются дифракционные интегралы вида

При к можно получить точную оценку этого интеграла, если предположить, является постоянной в окрестности нуля. При этом мы имеем

Видно, что эта формула получена методом стационарной фазы.

Интегралы в теории углового спектра могут иметь различный вид [см., например, выражения (4.9.2), (4.9.5) и (4.9.6)]. В общем случае их можно записать следующим образом:

где некоторая функция величины характеризуемая полюсными сингулярностями и разрезами. Для вычисления при больших к удобно преобразовать контур аналогично тому, как это было сделано в выражении (4.9.15). При этом в дают вклад полюсы а также интегралы типа (5.1.7), у которых контур заменяется на контур наибыстрейшего спуска и интегралы по контуру окружающему точки ветвления функции если они есть. КНС определяется как контур, который проходит через ту точку на комплексной - плоскости, где фаза стационарна, и затем

следует по траектории наибыстрейшего уменьшения мнимой части Вдоль КНС фазовый множитель можно записать как где вещественная функция величины вдоль Таким образом, используя замену переменных интеграл можно свести к виду (5.1.6).

Вблизи каустик или фокуса методы и приводят к сингулярным полям. Средством устранения этих сингулярностей являются сравнительные интегралы, из которых наиболее известны функции Эйри, они же — интегралы радуги, получившие свое название при объяснении Эйри образования радуги. Умножая эти интегралы сравнения на асимптотический ряд, можно получить полное представление поля, которое справедливо как вблизи, так и вдали от критических участков. Такой подход, имеющий много общего с методом Лангера (разд. 3.3), называют теорией однородного асимптотического представления

1
Оглавление
email@scask.ru