ГЛАВА 5. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФРАКЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на видимую простоту, интегралы Гельмгольца — Кирхгофа и Гюйгенса — Френеля можно вычислить аналитически только в ограниченном числе случаев; вообще же необходимо привлекать численные методы.
Применимость всех численных методов ограничена тем, что при вычислениях можно использовать лишь конечный набор значений поля на опорной плоскости. Это приводит к появлению ошибок, особенно существенных в тех случаях, когда подынтегральные функции являются быстроменяющимися. К сожалению, в большинстве случаев дифракционная картина в дальней области при рассеянии света на препятствиях состоит из контрастных и узких пиков. При этом численный подход становится крайне трудоемким из-за необходимости использования множества конкретных значений поля.
Альтернативой численным методам стала очень популярная техника, основанная на асимптотическом вычислении интегралов [1]. Есть несколько причин такого успеха. Это и простота выражений, и высокая степень точности, достигаемая за счет удержания необходимого числа членов асимптотического ряда, и возможность разделения области поля на участки, в которых предсказывается конкретное поведение поля. Но наиболее важна возможность использования более точного представления поля на опорной апертуре.
Из всех перечисленных преимуществ последнее нуждается в дополнительных комментариях. Обычно наиболее важной задачей является вычисление истинного распределения поля на опорной поверхности, поскольку, если поле здесь известно, то мы можем его определить и во всем пространстве. Вообще говоря, эту задачу нельзя решить точно, и поэтому в большинстве случаев используется приближенное распределение поля, вычисленное или в отсутствие препятствий, если апертура достаточно велика по сравнению с длиной волны (приближение Кирхгофа), или в других случаях без учета апертуры (приближение Бете). При использовании приближения Кирхгофа поле считается
равным нулю на непрозрачных участках экрана и равным невозмущенному значению на самой апертуре. Это распределение в дальнейшем можно улучшить, используя итерационную процедуру, состоящую в вычислении поля с использованием на каждом шаге значения поля на предыдущем шаге. С практической точки зрения такая стратегия требует для полей изучения простых выражений, допускающих асимптотические представления. С некоторыми приближениями
данный метод применяется, например, для вычисления дифракции на щели. Этот и аналогичные случаи привели к новому направлению, в котором, по сути дела, асимптотические представления являются составными блоками выражений для электромагнитных полей.
Все асимптотические методы, которые мы обсудим, можно считать модификациями методов Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
и стационарной фазы
Первый из них
более применим к дифференциальным уравнениям, а во втором
рассматриваются интегралы, содержащие быстро осциллирующие функции. В некоторых случаях метод стационарной фазы удобнее заменить методом наибыстрейшего спуска
который позволяет точно учесть локализацию на комплексной плоскости стационарных точек фазового множителя.
В простейшем случае дифракционный интеграл сводится к фурье-преобразованию следующего вида:
Если
функция, непрерывная вместе со своими производными порядка меньше, чем
то при больших к можно определить функцию
последовательно, применяя интегрирование по частям:
Последний интеграл в правой части этого выражения можно оценить, используя теорему Римана — Лебега, согласно которой если
то мы имеем
Следовательно, процедура интегрирования по частям позволяет вычислить фурье-преобразование вплоть до членов
максимальное целое число, для которого интеграл от
конечен. Это, разумеется, приводит к сильным ограничениям класса рассматриваемых функций. Например, для функции
такое вычисление при
возможно лишь до
и самое лучшее, что можно сделать, так это записать функцию
в виде
В дальнейшем мы покажем, что
можно представить в виде асимптотического ряда по большому параметру к, так что члены высшего по сравнению с
порядка можно получить путем обобщения процедуры интегрирования по частям.
В некоторых случаях встречаются дифракционные интегралы вида
При к
можно получить точную оценку этого интеграла, если предположить,
является постоянной в окрестности нуля. При этом мы имеем
Видно, что эта формула получена методом стационарной фазы.
Интегралы в теории углового спектра могут иметь различный вид [см., например, выражения (4.9.2), (4.9.5) и (4.9.6)]. В общем случае их можно записать следующим образом:
где
некоторая функция величины
характеризуемая полюсными сингулярностями и разрезами. Для вычисления
при больших к удобно преобразовать контур
аналогично тому, как это было сделано в выражении (4.9.15). При этом в
дают вклад полюсы
а также интегралы типа (5.1.7), у которых контур
заменяется на контур наибыстрейшего спуска
и интегралы по контуру
окружающему точки ветвления функции
если они есть. КНС определяется как контур, который проходит через ту точку на комплексной
- плоскости, где фаза
стационарна, и затем