2.14.3. Метод ковариантного дифференцирования
Эквивалентность лучей и геодезических линий позволяет использовать стандартный формализм ковариантного дифференцирования, обычно используемый в общей теории относительности. При этом мы можем получать дифференциальные уравнения, описывающие оптические траектории в произвольной системе координат.
Как мы уже отмечали, метрику трехмерного пространства можно определить с помощью соотношения
[символ 
используемый здесь и в дальнейшем, не имеет ничего общего с углом 
в (2.14.24)], где предполагается суммирование по повторяющимся индексам (правило Эйнштейна). Тензор 
зависит от выбранной системы координат. Например, в ортогональных координатах имеем
где 
соответствующие масштабные множители.
Геодезические линии, соответствующие метрике (2.14.25),
описываются уравнениями [24]
где 
(символы Кристофеля второго рода) определяются следующим образом:
Правый нижний индекс 
обозначает частную производную по х. Тензор 
является дуальным к 
и его компоненты удовлетворяют соотношению
где
есть тензор Кронекера. Для ортогональных координат, соответствующих тензору (2.14.26), сразу получаем
Несмотря на формальную элегантность скалярных уравнений лучей в криволинейных координатах [уравнения (2.14.27)], их не столь просто использовать из-за зависимости коэффициентов от распределения показателя преломления. Чтобы придать этим уравнениям более простую форму, введем величины 
определяемые следующим образом:
которые зависят только от выбора системы координат. Используя в (2.14.28) обозначения (2.14.32), мы имеем
так что с помощью соотношений дуальности, определяющих можно записать следующее выражение:
Символ 
обозначает ту же величину, что и 
но выраженную через 
а не через 
Таким образом, мы имеем следующие уравнения:
Заметим также, что из (2.14.25) и (2.14.32) следует равенство
Эти соотношения позволяют переписать уравнения (2.14.27) в виде
Здесь второй член связан непосредственно с выбранной системой координат, а третий и четвертый — с неоднородностью среды.
Пример. Цилиндрические координаты. Запишем уравнения (2.14.37) в цилиндрических координатах 
Нетрудно доказать (мы оставляем это доказательство в качестве задачи), что
а все остальные 
обращаются в нуль. Отсюда следует, что уравнения (2.14.37) можно переписать в виде
