2.10.1.б. Каустики

Найдем теперь каустики, связанные с рассматриваемой конгруэнцией. Удобно рассмотреть подмножество прямых, определяемых как

где функция, связанная с огибающей кривой подмножества. Точка в которой рассматриваемый луч (имеющий данное

значение параметра а) касается кривой определяется уравнениями

Эти уравнения подтверждают интуитивное представление о том, что каждая точка на огибающей является точкой скопления лучей, что означает равенство нулю производных при фиксированном Как следствие уравнений (2.10.14), получаем

Решением этого дифференциального уравнения является функция для которой рассматриваемое подмножество прямых лучей определяет некоторую огибающую В общем случае функция зависит еще и от некоторого параметра , так что зависит от и это можно отметить символом Если у изменяется непрерывно, то будет описывать каустику. Поскольку уравнение (2.10.15) имеет два решения, в общем случае существует две несвязанные поверхности (двулистные каустики). Можно показать [10], что кривые являются геодезическими линиями каустики.

Пример. Построение каустики конгруэнции лучей. Рассмотрим случай, когда

(в правых частях этих соотношений неявно подразумевается наличие общего множителя, имеющего размерность длины). В соотношениях (2.10.16) величины определены с помощью (2.10.2). Здесь мы рассматриваем конгруэнцию лучей, которая обладает вращательной симметрией, поскольку любой луч описывает поверхность вращения вокруг оси когда принимают все возможные значения, причем

Из уравнений (2.10.15) и (2.10.16) имеем

или соответственно

Если использовать теперь уравнения (2.10.13) и (2.10.14), то получим выражения

Рис. 2.18. Каустика и волновые фронты конгруэнции лучей (2.10.16). Эйконал имеет разрыв на осил: (волнистая линия), а волновые фронты пересекают оси z и х перпендикулярно им. Каустика, показанная жирной линией, соединяет точки с точкой

которые описывают каустику [отрезок (-1, 0) на оси симметрии и поверхность вращения], соответствующую случаю вращательной симметрии (рис. 2.18). Поверхность вращения имеет вид рупора с вершиной в точке (0, 0, — 1), край которой касается плоскости по окружности Заметим, что в этом случае каустика заключена в конечном объеме, хотя лучи занимают все пространство.

Для того чтобы найти волновые фронты, заметим, что уравнения (2.10.10) при выполнении условий (2.10.16) дают следующее уравнение:

решение которого записывается в виде [см. (2.10.9)]

где параметр с, определяющий конкретный волновой фронт, дается выражением

Наконец, используя выражения (2.10.6), (2.10.16) и (2.10.21), получаем

Выражения (2.10.21) и (2.10.23) являются параметрическими (параметр ) уравнениями волновых фронтов, связанных с конгруэнцией лучей (2.10.16). Следует также заметить, что благодаря (2.10.22) и взаимной ортогональности волновых фронтов и оси параметр с с точностью до аддитивной постоянной совпадает с эйконалом.