при выводе уравнения (1.1.8), нетрудно получить следующее уравнение:
где при записи члена 
[см. (1.1.11)] мы воспользовались приближенным соотношением 
(которое строго справедливо лишь в тех случаях, когда среду можно считать идеально однородной).
Если записать теперь вектор индуцированной поляризации 
как сумму линейной части 
удовлетворяющей соотношению (1.2.2) и нелинейной части 
т. е. 6 виде 
то уравнение (1.2.8) принимает вид
Теперь, прежде чем приступить к исследованию и решению уравнения (1.2.9), необходимо получить выражение, определяющее 
для рассматриваемого нелинейного процесса. Эту задачу можно решать, пользуясь совершенно разными методами описания — начиная от точного квантовомеханического микроскопического метода и кончая чисто феноменологическим подходом. В следующем разделе мы приведем пример первого метода описания; здесь же рассмотрим кратко феноменологический подход.
Запишем 
компоненту вектора поляризации 
как сумму поляризуемостей первого, второго, третьего и т. д. порядков [4] (мы воспользуемся здесь для простоты соглашением о суммировании по повторяющимся индексам):
Здесь тензорный характер 
позволяет обобщить соотношение (1.2.2) на случай анизотропных сред.
В некоторых конкретных случаях общее выражение (1.2.10) можно существенно упростить, учитывая либо симметричные свойства среды, либо характер временного отклика. Например, второе слагаемое в сумме (1.2.10) равно нулю в средах, симметричных относительно
инверсии. Другой пример — при определенной частоте и ширине спектра излучения отклик среды можно считать мгновенным, т. е. величины 
зависят от времени в виде 
-функции (см., например, разд. 8.19).
Рассмотрение большинства задач нелинейной оптики основано на предположении о том, что поле является суперпозицией нескольких монохроматических волн. Этот подход является самосогласованным, так как сам вид разложения (1.2.10) подразумевает возможность генерации волн в виде дискретной суперпозиции монохроматических полей. В соответствии с этим электрическое поле нередко записывают в виде
Пример: генерация второй гармоники. Рассмотрим в качестве примера процесс, связанный с поляризуемостью второго порядка, — генерацию второй гармоники 
Чтобы описать этот процесс, предполагают, что поле состоит из двух частотных слагаемых, одно из которых осциллирует с круговой частотой а другое — с 
[см. выражение (1.2.11)].
После подстановки выражения (1.2.11) во второе слагаемое в правой части суммы (1.2.10) необходимо прежде всего выделить члены, осциллирующие с частотами 
т. е.
(здесь 
означает «комплексно-сопряженные члены») и
причем символ 
означает двойное временное преобразование Фурье величины 
Подставляя выражение (1.2.12) в уравнение (1.2.9), получаем
Входящий в эти уравнения тензор диэлектрической проницаемости определяется следующим образом:
Система уравнений (1.2.15) обеспечивает аналитическое описание 
и ее решение (которое читатель может найти в более
Рис. 1.2. Экспериментальная установка для демонстрации генерации второй гармоники света. 1 — рубиновый лазер; 2 — пропускающий фильтр; 3 — нелинейный кристалл; 4 — призма; 5 — фотопленка.
специализированных книгах, например [5]) позволяет сделать общие выводы относительно эффективности и характеристик процесса. В частности, эффективность ГВГ существенно зависит от разности фазовых скоростей волны накачки 
и второй гармоники (20) (рис. 1.2). Их совпадения (условия фазового синхронизма) можно достичь в одноосном кристалле, используя различие скоростей обыкновенной и необыкновенной волн (см. разд. 1.4).
— электропроводность среды. Для проводников уравнение (1.2.7) остается справедливым в пределе малых частот 
Строго говоря, соотношение (1.2.7) справедливо для почти монохроматического поля, центральная частота которого равна 
При этом величина 
не имеет очевидного физического смысла и введена лишь для учета потерь, связанных с мнимой частью диэлектрической восприимчивости. С помощью метода, аналогичного использованному