5.6.2. Точка ветвления вблизи седловой точки

Рассмотрим интеграл

Для него все члены асимптотического разложения по степеням тождественно равны нулю, так как при всех положительных целых Преодолеть эту трудность можно, опираясь на то, что в знаменателе стоит величина имеющая две точки ветвления при Если в предыдущем разделе мы рассматривали полюсные сингулярности подынтегрального выражения, то теперь необходимо сделать следующий шаг, а именно учесть близкое расположение к контуру интегрирования точек ветвления.

Задача, к которой мы здесь обращаемся, связана с получением точного представления следующего класса интегралов [см. выражения и в приложении ]

где произвольный контур в комплексной -плоскости (рис. 5.16). Квадратный корень в подынтегральном выражении предполагается однозначно определенным, по крайней мере при движении вдоль

Рис. 5.16. Контур наибыстрейшего спуска, проходящий вблизи полюса и разреза.

Это означает, что разрез в плоскости сделан в точке и идет параллельно вещественной оси в направлении к

Если преобразовать контур интегрирования к суммарному контуру, включающему в себя контур окружающий точку ветвления и соответствующий разрез, то можно рассмотреть отдельно вклад в одного лишь интеграла по При этом заметим, что для близкого к полупрямой можно использовать следующее приближение:

где для на верхнем берегу контура на нижнем. В соответствии с этим при изменяющемся от до будет описывать обход по контуру Таким образом, если мы заменим переменную интегрирования на то контур преобразуется в прямую . В частности, для [см. (5.6.14)] имеем

Функция имеет седловую точку при которая дает вклад в а именно

здесь функции с необозначенным аргументом вычисляются при Поступая аналогичным образом, получаем следующее выражение

Здесь в отличие от выражения (5.6.17) главный член содержит множитель так что вклад от точки ветвления стремится к нулю при Следует заметить, что каждый из этих двух асимптотических вкладов стремится к бесконечности при приближении точки ветвления к стационарной точке, так как в знаменателях выражений (5.6.17) и (5.6.18) содержится

Возвращаясь к тому интегралу, с которого начинался этот раздел, заметим, что его можно переписать в виде

Таким образом, используя выражение (5.6.17), получаем непосредственно правую часть выражения (5.6.13).