4.10. ДИФРАКЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ И ФРАУНГОФЕРА

4.10.1. Формула Френеля

Рассмотрим случай, когда угловой спектр поля имеет ограниченную полосу. Точнее говоря, предположим, что если При этом выражение (4.8.11), в котором можно заменить на принимает вид

где с помощью мы обозначили операцию свертки и использовали теорему свертки об обратном преобразовании Фурье (обозначаемом символом произведения двух функций. Выражение (4.10.1) нетрудно переписать следующим образом:

Таким образом, дифракционный интеграл эквивалентен фурье-образу поля в опорной плоскости умноженному на соответствующий фазовый множитель. Практическая ценность этого результата состоит в том, что он позволяет выполнить численный расчет поля с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Выражение (4.10.2) представляет собой одну из возможных записей дифракционной формулы Френеля.

Ошибкой, возникающей при замене на можно пренебречь только, если Это означает, что формула (4.10.2) может быть использована только для точек, расстояние которых от поверхности интегрирования не превосходит некоторой величины Это расстояние можно определить из следующего приближенного соотношения:

где а — малая величина (например, Следовательно, дифракционная формула Френеля для прлей с ограниченной полосой углового спектра может быть использована лишь для вычисления полей в ограниченной координатной области.

Рассмотрим теперь поле, отличное от нуля лишь на некотором конечном отверстии в плоском экране. Обозначим через а радиус наименьшей минимальной окружности, охватывающей отверстие, и предположим, что этом величину можно считать приблизительно равной Таким образом, дифракционный интеграл (4.5.5) можно переписать в виде

Заметим сразу, что это выражение по виду совпадает с выражением (4.10.2), хотя они были получены при существенно разных предположениях. В действительности последнюю формулу можно использовать лишь при где определяется из соотношения, аналогичного (4.10.3):

Если то формула Френеля применима при любых для полей, ограниченных в пространстве и по спектру. Из соотношений (4.10.3) и (4.10.5) можно сразу получить простое условие, позволяющее использовать приближение Френеля во всем пространстве. Это условие имеет вид

и определяет верхний предел произведения "размер х ширина спектра". Для однородно освещаемой щели спектр плоской волны пропорционален так что произведение равно приблизительно и неравенство (4.10.6) принимает вид

Поэтому для достаточно больших отверстий, таких, что и освещаемых однородно (как по амплитуде, так и по фазе), интеграл Френеля можно использовать для нахождения поля на произвольном расстоянии от плоскости интегрирования.

Рассмотрим теперь влияние неоднородности фазового распределения. Как мы покажем ниже, в пределе к можно использовать равенство где максимальный угол с осью который могут образовывать лучи, проходящие через отверстие. В соответствии с этим условие (4.10.6) запишется в виде

Отсюда следует, что формулу Френеля во всем полупространстве можно применять лишь при выполнении определенного условия. В частности, для луча с числовой апертурой размер отверстия должен быть меньше, чем При этом формулу Френеля можно использовать без ограничений. Это в свою очередь означает, что для света с длиной волны максимальный допустимый размер освещаемой зоны в плоскости интегрирования равен примерно 10 см. Если же числовая апертура увеличивается до то допустимый размер резко уменьшается и составляет всего лишь

В заключение заметим, что поля, определяемые выражением (4.10.4), удовлетворяют параболическому волновому уравнению,

которое рассматривалось в разд. 2.6. [см. уравнение (2.6.12)]. Поэтому некоторые авторы, в частности советские ученые, называют приближение Френеля параболическим приближением.