7.4. РАССМОТРЕНИЕ ЗАКРЫТОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА В РАМКАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Для того чтобы ознакомиться с основными особенностями распределения полей в резонаторе, рассмотрим точно решаемую (в рамках геометрической оптики) модель оптического резонатора, состоящего из цилиндрической полости с эллиптическим сечением, полуоси которого равны (рис. 7.10). Чтобы не загромождать рассуждения математическими выкладками, ограничимся рассмотрением двумерной конфигурации мод, поле которых и не зависит от координаты у. В рамках лучевой оптики поле и, как показано в гл. 2, можно записать в виде линейной суперпозиции полей

Разложение поля и по каноническим функциям, каждая из которых описывает конгруэнцию лучей, в общем случае зависит от формы границ. В рассматриваемом случае из симметрии эллипса следует, что и

Рис. 7.10. Сечение цилиндрического эллиптического резонатора. Кривые представляют собой соответственно семейства конфокальных гипербол и эллипсов. Ось х определяется выражениями

может быть представлена суммой двух функций (например, для кольцевого резонатора, изображенного на рис. 7.8, требуется восемь функций, по две на каждое плечо).

Функция может быть решением уравнения эйконала. В рассматриваемом случае удобно ввести систему эллиптических координат, определяемую выражениями (2.7.10), с ограниченными переменными Условию соответствуют эллипсы с фокусами в точках в то время как граница резонатора определяется кривой При этом простой способ решения уравнения эйконала состоит в поиске решений вида (см. разд. 2.12; координату не надо путать с частотой

В результате этого мы получаем (см. задачу 1)

Поскольку подынтегральное выражение в интеграле (7.4.2в) становится мнимым при продольное сечение каустики представляет собой гиперболу (рис. 7.11,в); при этом пространственная структура мод описывается параметром Распределение для каждого значения в интервале ( зависит, как мы покажем ниже, от дискретного индекса поэтому произвольная мода обозначается двумя индексами, учитывающими непрерывный параметр и дискретный параметр

В случаях когда каустика вырождается в прямые линии, выходящие из фокусов и уходящие в бесконечность (рис. 7.11, а), в то время как волновые фронты вырождаются в окружности с центрами в точках Лучи с фокусами при и направленные к точке описываются уравнением эйконала

где знаковая функция, принимающая значение + 1 или — 1 в зависимости от знака аргумента и учитывающая то, что при волновые фронты сходятся в направлении к фокусу и расходятся от него при Аналогично, лучи, проходящие через фокус и направленные в точку описываются уравнением эйконала

так что окончательно мы можем написать

Рис. 7.11. (см. скан) Моды эллиптического резонатора, полученные суперпозицией двух лучевых конгруэнций, движущихся соответственно вверх и вниз и описываемых гиперболическими каустиками с фокусами в точках когда обе каустики вырождаются в линию, лежащую на оси, возникают два мнимых фокуса в точках и мода становится гауссовой, а — каустики вырождены в линию, лежащую на оси; каустики с фокусами в точках в — каустики с фокусами в точках

Поскольку функция и должна удовлетворять граничному условию, волновое число к, соответствующее незатухающим колебаниям резонатора, должно принимать дискретные значения, которые в дальнейшем мы будем обозначать через k. Используя соотношение (7.4.5) и

считая поле и на границе резонатора равным нулю, получаем

в этом выражении знаки плюс и минус относятся к частям границы соответственно с положительным и отрицательным значением Далее, вычитая выражение (7.4.66), записанное для из такого же выражения, записанного для получаем

причем

Рассмотрим теперь случай (см. рис. 7.11,в). Используя выражения (7.4.2), нетрудно проверить, что формулы (7.4.3) и (7.4.4) принимают вид

Эти эйконалы описывают поля с фокусами в точках с эллиптическими координатами которые в прямоугольных координатах соответствуют точкам Соответствующие поля запишутся в виде

где мы заменили его приближенным выражением . В то время как для действительных фокусов поле имеет однородный волновой фронт, в случае мнимых фокусов его волновой фронт принимает гауссову форму, т. е. амплитуда поля экспоненциально спадает с квадратом расстояния от оси Обе моды, определяемые выражением (7.4.9), можно объединить, чтобы получить моду колебаний, которая удовлетворяет следующему резонансному условию, аналогичному (7.4.7):

Вообще говоря, каждая мода, соответствующая определенному значению описывается гиперболической каустикой. При обе ветви гиперболы стремятся прижаться к оси и поле сосредоточивается вдоль малой оси эллиптического резонатора. Моды с занимают большую часть объема резонатора и называется неустойчивыми, в то время как моды с называются устойчивыми. Если удалить значительную часть стенок эллиптического резонатора, то это никак не отразится на распределении поля в устойчивых модах (рис. 7.12,а), но сильно повлияет на распределение поля в

Рис. 7.12. (см. скан) а — устойчивый резонатор с зеркалами в виде бесконечных полос, полученный устранением части поверхности закрытого эллиптического резонатора вблизи вершин большой оси; при удалении от оси резонатора поле быстро уменьшается и может быть представлено затухающей волной с чисто мнимым волновым вектором на отражающие поверхности падает излучение с почти гауссовым профилем интенсивности; б - неустойчивый резонатор с зеркалами в виде бесконечных полос, полученный удалением части поверхности вблизи вершин малой оси; следует обратить внимание на постепенное расхождение лучей после каждого отражения, вследствие чего отражатели освещаются почти однородно.

неустойчивых модах (рис. 7.12,б), а именно приведет к так называемым радиационным потерям.