3.10. БЛОХОВСКИЕ ВОЛНЫ

Продолжим анализ структур, состоящих из одинаковых слоев толщиной причем каждый элементарный слой характеризуется матрицей Периодичность слоев приводит к хорошо известному явлению частичной непрозрачности. Это означает, что в среде могут распространяться лишь волны, частоты которых лежат в определенных интервалах, называемых полосами пропускания. Вне этих полос поле затухает экспоненциально, аналогично тому, как затухают волны в средах с потерями. Изучение свойств полос непрозрачности возможно с помощью теоремы Флоке. Этим мы займемся в разд. 3.17. Положение различных полос и их ширина зависят от характеристик элементарного слоя (толщин и показателей преломления составляющих их тонких пленок). С математической точки зрения полосы непрозрачности соответствуют тем частотным интервалам, для которых модули собственных значений характеристической матрицы элементарного слоя отличны от единицы, т. е.

Собственные векторы матрицы являются также собственными векторами для матрицы степени где

произвольная степень. Это позволяет найти значения вектора на любой поверхности раздела между соседними элементарными слоями, а именно при где целое. Правая поверхность первого элементарного слоя расположена в начале оси Если совпадает с или то

Для полного описания поля требуется рассмотреть поведение вектора V в произвольной точке Для этого воспользуемся теоремой Флоке (разд. 3.17.1), в соответствии с которой можно представить в виде

где периодическая функция с периодом зависящим от профиля в элементарном слое. В частности, если элементарный слой имеет плоскость симметрии, то Зависимость в виде (3.10.2) можно рассматривать как электромагнитный аналог квантовомеханических электронных волн, распространяющихся в кристалле с постоянной решетки Благодаря этой аналогии векторы называют блоховскими волнами [21].

Заметим, что только в том случае описывают волны, распространяющиеся соответственно в прямом и обратном направлениях, когда 6 является вещественной величиной, т. е. [см. выражение (3.9.16)]

Для элементарного слоя, состоящего из двух пластин, выражения (3.9.27) и (3.9.16) приводят к следующему соотношению:

Если то выражение (3.10.4) принимает вид

Таким образом, 5 вещественно, если

Поскольку и определены с точностью до произвольного постоянного множителя, блоховские волны удобно характеризовать импедансами и определяемыми следующими выражениями:

Если учесть уравнения (3.9.17), то сразу получаем

Заметим, что для вычисления и используется одно и то же определение положительного направления тока. Поэтому для волн, распространяющихся в однородной среде справа налево, и отрицательны.