4.12.1. Нули функции ... в верхней полуплоскости

Нули функции (а также исследовали несколько авторов [18—21]. В частности, Шебе [19] получил следующее разложение для справедливое при

где функция Эйри, ее производная и

Для первых нескольких коэффициентов имеем

Используя приведенное разложение (4.12.16) и применяя формулу Стрейфера и Кодиса [18], можно показать, что первые нули функции с хорошей точностью можно аппроксимировать следующей функцией [см. также (6.6.3) и выражение Нуссенцвейга

где нули функции а

Первые пять коэффициентов имеют следующие значения:

а при больших (но меньших, чем определяется асимптотической формулой

Кроме того, при мы имеем (см. [21])

Распределение нулей схематически иллюстрируется на рис. 4.15, из которого ясно видно, что является возрастающей функцией числа Кроме того, при достаточно больших х первые нули расположены на линии, составляющей угол 60° с вещественной осью.

Функцию для первых нулей, как видно из разложения (4.12.16), можно заменить на функцию Эйри Таким образом, мы можем

написать

В то же время для нулей высокого порядка можно использовать разложение (4.12.8), и мы имеем

Таким образом, с учетом (4.12.23а) получаем