1.2.3. Соотношение Крамерса — Кронига и монохроматические волны

Аналитические свойства функции определяются принципом причинности, согласно которому вектор поляризации среды в некоторый

момент времени определяется значениями электрического поля только в предшествующие моменты времени. Действительно, равенство нулю при отрицательных значениях аргумента позволяет написать выражение -

Отсюда сразу следует, что если рассматривать со как комплексную переменную то в случае пассивной среды величина является аналитической функцией в нижней полуплоскости комплексного со а в случае активной среды (т. е. в лазерах) она аналитическая в верхней полуплоскости. На этом основывается вывод (см., например, [8]) так называемых соотношений Крамерса — Кронига между вещественной и мнимой частями

где обозначает главное значение интеграла в смысле Коши.

Если диспергирующая среда находится в тепловом равновесии, то можно показать (см. § 82 в книге [1]), что величина всегда положительна при отрицательна при и равна нулю при Последнее утверждение следует непосредственно из равенства

которое сразу следует из (1.2.42). Это, разумеется, не противоречит тому, что может принимать очень небольшие значения в некотором интервале частот; при этом о диэлектриках говорят, что они прозрачны в области частот, в которой

Используя тот факт, что является нечетной функцией частоты [следствие соотношения (1.2.44)], выражение (1.2.43а) можно переписать в виде

где Справедливость этого выражения нетрудно проверить, заменяя контур интегрирования по которому вычисляется главное значение интеграла в смысле Коши, на луч и отдельно вычисляя интеграл по полуокружности радиусом с центром в Для того чтобы между старым и новым

контурами интегрирования не оказалось полюсов функции величина должна быть достаточно мала.

Дифференцируя выражение (1.2.45) по получаем

В случае когда производная пренебрежимо мала, правая часть выражения (1.2.46) является положительной величиной, если (пассивная среда), т. е. представляет собой монотонно возрастающую функцию частоты так же, как и вещественная часть показателя преломления и диэлектрическая проницаемость Вспоминая определение, данное в разд. 1.2, можно сделать заключение, что спектральная область, в которой потери постоянны, является областью нормальной дисперсии.

Проведенное выше рассмотрение одинаково справедливо при высоких частотах как для диэлектриков, так и для металлов. При очень высоких частотах не существует даже количественного различия между этими двумя случаями, причем диэлектрическая проницаемость, как правило, имеет вид (см., например, § 84 в книге [1])

где плазменная частота, соответственно заряд и масса электрона, полное число электронов в единице объема среды (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Спектральная зависимость вещественной и мнимой частей комплексного показателя преломления металла, диэлектрическая проницаемость которого описывается зависимостью, аналогичной (1.2.47), причем плазменная частота Для учета затухания, определяемого коэффициентом 7, член заменен на причем в данном случае Кривая изображает коэффициент отражения, вычисленный по формулам Френеля в гл. 3. (Согласно работе