6.2.2. Дифракционная матрица для искривленной кромки

Полученные выше результаты можно обобщить на случай дифракции на искривленной металлической кромке (рис. 6.3), освещаемой лучами, образующими угол с касательным к кромке вектором в точке (ср. с разд. 5.10 и рис. 5.25). Если рассмотреть проекцию падающего и дифрагированного лучей на плоскость, перпендикулярную вектору касательному к кромке в точке и направить падающий луч под углом то положение дифрагированных лучей, образующих коническую поверхность, будет задаваться углом (рис. 6.4). Напряженность электрического поля дифрагированного на кромке луча можно записать в виде

где вектор совпадает с из разд. 5.10, а параметр имеет то же значение, что и в (5.10.20). Входящую в выражение (6.2.20)

Рис. 6.3. Геометрическое представление дифракции на крае.

Рис. 6.4. Дифракция на полуплоскости. Плоскость рисунка перпендикулярна вектору в точке

дифракционную матрицу получили Коуюмьян и Патак [4] и записали ее в виде

где являются обобщением дифракционного коэффициента (6.2.11) на случай и определяются выражением

где В частности, для полуплоскости мы имеем и выражение (6.2.22) принимает вид

Сравнивая дифракционные коэффициенты с полученными ранее коэффициентами [см. (5.2.48)] [см. (5.10.21)], можно заметить, что они отличаются только множителем, стоящим в квадратных скобках. Кроме того, коэффициенты становятся сингулярными в случае, когда т. е. когда мы рассматриваем лучи, лежащие в плоскости, проходящей через падающий луч и точку С точки зрения геометрической оптики эта плоскость отделяет освещаемую область от области тени, отсюда и ее название — граница тени. В то время как при коэффициенты становятся сингулярными, коэффициенты остаются конечными. Легко показать, что данному направлению в геометрической оптике соответствует направление отраженных лучей. Поэтому полуплоскость, проходящая через точку и включающая в себя отраженный луч, называется границей отражения. В заключение заметим, что все упомянутые дифракционные коэффициенты, вычисленные для направлений, лежащих вблизи границы тени, практически совпадают, в то время как для других направлений их различие становится существенным. Таким образом, можно сделать вывод, что вычисления, проведенные на основе скалярного представления и приближения Кирхгофа, совпадают с расчетом на основе точной теории только тогда, когда мы рассматриваем лучи, дифрагированные в прямом направлении и отклоняемые лишь ненамного от границы тени. Фактически же данное утверждение означает, что приближение Кирхгофа неверно как в глубине области тени, так и в глубине освещенной области.

Вблизи границы тени выражение (6.2.20) для поля становится сингулярным. В этом случае, как было показано в разд. 5.3, для получения выражения, аналогичного (6.2.20), необходимо воспользоваться выражением для комплексного интеграла Френеля и параметра обхода причем коэффициенты заменяются величиной

где параметр обхода определяется выражением

здесь главные радиусы кривизны падающего волнового фронта с разд. 2.9], а радиус кривизны кромки в плоскости падения.

Можно показать, что для падающей плоской волны параметр равен Подставляя это выражение в формулу (6.2.24) и учитывая, что для прямой кромки в итоге получим выражение для поля, совпадающее с выражением (5.3.2).