6.7. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП ФЕРМА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ

Следует заметить, что траектории ползущих волн представляют собой наикратчайшие пути, соединяющие источник с точкой наблюдения при условии, что поле данной волны не проникает в цилиндр. Таким образом, используя аналогию с лучами, распространяющимися в трехмерном пространстве, или с лучами, дифрагированными на крае, можно вывести обобщенный принцип Ферма. Эти три класса лучей описывают траектории, которые являются стационарными относительно небольших изменений траектории при условии выполнения соответствующих ограничений. Для лучей, дифрагированных на крае, эти ограничения состоят в том, чтобы эти лучи касались края по крайней мере в одной точке, в то время как ползущие волны должны обязательно касаться гладкой поверхности.

Обобщенный принцип Ферма был впервые сформулирован Келлером (см. работу [26], указанную в литературе к гл. 5) при получении асимптотических выражений для лучей, дифрагированных на препятствиях произвольной формы. Ценность этого принципа состоит в том, что он сразу позволяет обобщить формулы, полученные выше для кругового цилиндра, на случай излучения произвольного вида. При этом мы по-прежнему можем считать что поле в темных областях является суммой вкладов ползущих волн, которые на поверхности цилиндра распространяются по кривым, удовлетворяющим принципу Ферма. Следовательно, каждый луч из конгруэнции, падающий по касательной на поверхность цилиндра, должен описывать на ней геодезическую линию, а именно спираль. Ползущая волна на поверхности цилиндра полностью определяется семейством спиральных траекторий, образованных поверхностными волнами, распространяющимися с комплексным показателем преломления, определяемым выражением (6.6.5):

где параметр радиус кривизны поверхностного луча. Для спиральной траектории таким образом,

Данное рассмотрение можно обобщить и на произвольную гладкую поверхность. В этом случае поле представляется в виде суперпозиции бесконечного числа вкладов вида

Здесь множитель учитывает расходимость дифрагированных лучей, покидающих поверхность в точке и фокусирующихся на расстоянии от множитель представляет собой отношение расстояний между двумя соседними лучами в точках таким образом, учитывает расходимость поверхностных лучей. В выражении (6.7.2) дифракционный коэффициент записан в виде произведения двух коэффициентов , поскольку радиусы кривизны траекторий (и, следовательно, в точках в общем случае являются различными. Наконец, это расстояние от до длина дуги траектории между точками

В качестве заключительного этапа приведенные выше выражения можно обобщить на случай -волны, заменяя дифракционный коэффициент на определяемый выражением

где х — значения нулей функции Кроме того, необходимо заменить на величину определяемую следующим образом с выражением (6.7.3)]:

Указанные скалярные дифракционные формулы можно записать в виде одного векторного соотношения [6.4]:

где поле в точке дифрагированное на гладкой поверхности, освещаемой падающей волной — соответственно

главная нормаль и бинормаль к траектории поверхностного луча в точках ; величина F определяется выражением

а величину можно вычислить из приведенного выше соотношения, заменяя индекса на

В заключение заметим, что как и в случае дифракции на крае, дифрагированное на гладкой поверхности поле может быть представлено в виде суперпозиции мод, каждая из которых является результатом умножения падающего поля на дифракционную матрицу

Геометрическая теория дифракции посвящена изучению дифракции лучей на предметах любого сорта (рис. 6.13). Название данной теории предложил Келлер, который заложил ее основы. В настоящее время геометрическая теория дифракции развилась в довольно сложный аппарат, который включает в себя систематическое использование дифракционных матриц и однородных представлений для специальных областей (например, на границе тени и в каустике), рассмотренных в предыдущей главе. В некотором смысле геометрическую

Рис. 6.13. Лучи, дифрагированные на различных препятствиях. Заметьте, что на рис. г имеются дважды дифрагированные лучи, а на рис. в — прошедшие лучи.

теорию дифракции можно рассматривать как электромагнитный аналог фейнмановских диаграмм, применяемых в квантовой теории поля. Действительно, они имеют общее свойство, заключающееся в том, что устанавливаемые ими правила позволяют представить сложные конфигурации поля в виде суперпозиции стандартных полей, которые в случае геометрической теории дифракции описываются дифрагированными лучами, а в фейнмановских диаграммах — графиками. Заинтересованный читатель может найти сведения о некоторых применениях и разработках геометрической теории дифракции в книге под редакцией Хансена [28], указанной в литературе к гл. 5 настоящей книги.