4.2.2. Принцип Гюйгенса

Рассмотрим поле, распространяющееся в однородной среде. Объединяя уравнения (4.2.10) и (4.2.7), получаем

где Следовательно, поле можно представить в виде суперпозиции элементарных возбуждений

В случае когда что обычно имеет место для оптического диапазона, уравнение (4.2.16) принимает вид

Для тех полей и, которые допускают представление геометрической

Рис. 4.4. Обозначения, используемые при рассмотрении принципа Гюйгенса.

оптики можно написать следующее выражение:

где мы пренебрегли медленным изменением амплитуды Таким образом, величина пропорциональна и каждая элементарная поверхность дает дифрагированное поле, амплитуда которого убывает как и характеризуется следующей диаграммой направленности излучения:

где угол между падающим лучом, проходящим через точку внутренней нормалью — угол между направлением — вдоль которого вычисляется дифрагированное поле, и вектором — (рис. 4.4). При этом дифракционный интеграл (4.2.15) принимает вид

(здесь не следует путать эйконал в экспоненте с обозначением поверхности В частности, когда поверхность совпадает с волновым фронтом выражение преобразуется в коэффициент наклона Представление поля в виде суперпозиции многих элементарных волн (2.2.17) называется принципом Гюйгенса. Рэлей в своей статье для Британской энциклопедии в 1889 г. сформулировал его следующим образом:

"Если изобразить вокруг источника волн идеальную замкнутую поверхность, то результирующее воздействие волн во внешней области можно представить как сложение волн от всех элементов этой поверхности. Волновое движение от каждого из элементов поверхности называется "вторичной волной", а для

Рис. 4.5. Кольца Френеля при наблюдении из точки в которой определяется поле.

нахождения суммарного воздействия в каждой точке нужно учитывать как амплитуды, так и фазы всех компонент...".

На самом деле можно показать, что для нахождения искомого поля нужно учитывать лишь вклады от вполне определенных участков фиксированного волнового фронта. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим сферический волновой фронт А с радиусом кривизны Его можно разбить на элементарные кольца, называемые зонами Френеля (или Гюйгенса), которые вырезаются из волнового фронта сферами с центром в точке (рис. 4.5), в которой требуется определить поле Пусть первая из этих сфер радиусом касательна к поверхности А, а последующие сферы радиусами пересекают волновой фронт А по окружности радиусом где длина волны. Таким образом, волновой фронт А будет разделен последовательностью колец одинаковой площади, равной приблизительно Если поле от кольца, то можно получить, просуммировав все Два последовательных члена этой суммы имеют примерно равные амплитуды, но разные знаки, так Из-за такой нейтрализации последовательных членов результирующее поле определяется главным образом слагаемыми низших порядков (малые ). Следовательно, лишь участок волнового фронта А площадью около определяет поле в точке Ниже эти интуитивные соображения будут сформулированы более строго в связи с асимптотическими вычислениями дифракционных интегралов. Мы покажем также, что тот же результат имеет место и для волновых фронтов более общего вида.

В заключение можно сформулировать качественный вывод о том, что поле представимо в виде суперпозиции вторичных волн, приходящих из некоторых участков волнового фронта, которые

Рис. 4.6. Точки стационарной фазы волнового фронта, дающие вклад в поле. Семейства колец представляют соответствующие зоны Френеля. Конечный размер апертуры приводит либо к нейтрализации, либо к уменьшению вкладов от точек, лежащих у границы.

окружают точки стационарной фазы Эти точки получаются при пересечении волнового фронта лучами, проходящими через точку (рис. 4.6). При каждый участок стягивается к соответствующей стационарной точке, так что ее вклад в в полном соответствии с геометрической оптикой оказывается пропорциональным При конечных значениях X вклад в от по-прежнему пропорционален при условий, что не сильно изменяется на площади, равной приблизительно Это и есть точный критерий применимости приближения геометрической оптики.