ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

2.1. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В среде с однородным показателем преломления решениями уравнений Максвелла являются плоские волны, которые в комплексном представлении имеют вид В случае когда зависит от таких решений в виде плоских волн не существует (всюду, кроме специальных случаев, мы не будем явно указывать зависимость от Рассмотрим возможность описания поля в первом приближении «локальными» плоскими волнами вида

где медленно меняющаяся, произвольная функция координаты Для однородной среды Подставляя выражение (2.1.1) в уравнения Максвелла, записанные для случая и используя векторные тождества и сразу же получаем

где — волновое сопротивление вакуума (вакуумный импеданс). В дальнейшем импеданс произвольной среды с показателем преломления мы будем обозначать как

Если то в уравнениях (2.1.2) членами, в которые входит можно пренебречь, выбирая как так и 5 не зависящими от Умножая затем векторно обе части уравнения (2.1.2а) на и используя уравнения (2.1.2б) и (2.1.2г), а также тождество имеем

Функция называемая эйконалом, должна быть выбрана таким образом, чтобы удовлетворять уравнению эйконала

В уравнениях (2.1.2) при конечных значениях пренебречь a priori членами с нельзя, поскольку мы не можем заранее знать погрешность, связанную с таким приближением при выборе поля в виде (2.1.1). Обратимся поэтому к более строгому представлению поля в виде асимптотического ряда; этому вопросу мы и посвятим следующий раздел.