6.10.3. Представление Рэлея для металлической решетки

В 1897 г. Рэлей предложил свой метод вычисления рассеянного от периодической решетки поля, основанный на предположении о том, что представление поля в области перед решеткой в соответствии с принятым выше соглашением (область А) должно быть также справедливо и для области, непосредственно примыкающей к поверхности решетки (гипотеза Рэлея). Из этого следует, что на границе решетки падающую -волну с можно записать в виде

Рис. 6.19. Схематическое представление поля в дальней зоне при дифракции на решетке. Угол рассеяния отсчитывается от внешней нормали к поверхности решетки; знак угла в зависит от выбора направления отражения от решетки. Уширение линий отдельных порядков происходит благодаря конечному размеру решетки.

В справедливости гипотезы Рэлея никто не сомневался до тех пор, пока не так давно Дерюгин (1952) и Липман (1953) не высказали соображения по поводу ее обоснованности, указав на то, что на гофрированной поверхности существуют приходящие и уходящие вторичные волны, а вместе с ними можно предположить и существование экспоненциально нарастающих и затухающих волн (см. в книге [18] главу, написанную Кадильяком). В 1969 г. Миллар показал, что для выполнения гипотезы Рэлея необходимо и достаточно, чтобы соответствующее разложение являлось аналитической функцией координат В результате тщательного анализа области аналитичности несколькими авторами установлена предельная ширина штриха. В частности, Кадильяк и Миллар показали, что для косинусоидального профиля гипотеза справедлива при всех значениях Однако для треугольного профиля гипотеза Рэлея никогда не выполняется. Ван ден Берг и Фоккема доказали некоторые дополнительные теоремы, позволяющие подтвердить или опровергнуть гипотезу Рэлея.

Несмотря на то что гипотеза Рэлея не всегда верна, воспользуемся все же разложением в ряд по плоским волнам

где Действительно, Ясуура показал, что приведенный выше набор уходящих и затухающих волн является полным и может быть использован для вычисления соответствующих коэффициентов. Для этого необходимо решить следующую замкнутую систему уравнений:

где В 1973 г. Икуно и Ясуура доказали, что В этом подходе, который обычно называют методом наименьших квадратов, коэффициент отражения относящийся к -й дифрагированной волне, получается решением системы уравнений (6.10.16) при достаточно большом выбранном значении Коэффициенты отражения вычисляются путем интегрирования по профилю решетки произведения амплитуды падающей волны на рэлеевскую волну и. В другом варианте метода наименьших квадратов

заменяется на Метод, в котором используется данная замена, называется методом разложения в ряд Фурье.