где 
обобщенный комплексный показатель преломления.
Используя теорему сложения Графа для цилиндрических функций (см. задачу 4.8) при 
разложим ядро 
интегрального уравнения в ряд по цилиндрическим функциям
После подстановки правых частей выражений (6.4.6) и (6.4.7) в уравнение (6.4.2) мы имеем
где ряд 
представляет падающую плоскую волну [см. выражение (4.11.12)], а
Учитывая соотношение
нетрудно получить, что
где 
масштабный параметр, 
В соответствии с (6.4.8) поле снаружи диэлектрика представляет собой суперпозицию цилиндрических волн с весовыми коэффициентами 
которые в данном случае можно рассматривать как коэффициенты отражения от цилиндра 
парциальной волны. Коэффициенты 
нетрудно вычислить в предположении о непрерывности функции при переходе через границу цилиндра. При этом мы имеем
Таким образом, выражая коэффициенты 
в виде функции от 
и учитывая соотношение 
получаем следующее выражение:
где 
логарифмическая производная, а
В частности, для вещественных 
абсолютное значение функции 
равно единице. Заметим далее, что выражение (6.4.14) определяет 
как функцию в общем случае комплексного параметра 
В результате такого искусственного расширения появляется возможность использовать преобразование Ватсона, если рассеянное поле при этом представить в виде парциальных волн (см. работу Ньютона [17], указанную в литературе к гл. 4).
Приведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай 
-волны. При этом получаем следующее выражение:
где
Предельный случай, соответствующий металлическому цилиндру, можно получить, положив 
При этом выражения для 
принимают более простой вид:
где функция 
заменена ее асимптотическим выражением.
Из приведенных выражений следует, что коэффициент отражения для 
цилиндрической волны сильно зависит от поляризации. Действительно, когда значение функции 
достигает максимума, 
становится очень большим, а 
незначительным, и наоборот, при минимальном 
достигает максимального значения 
Это свойство можно использовать для создания поляризатора. Например, поляризующими свойствами будет обладать система, состоящая из большого числа равноотстоящих параллельных проволочек. Периодическая
структура в данном случае как бы усиливает поляризационные свойства каждой проволочки. Такие поляризаторы успешно применяются в дальнем ИК-диапазоне.
-волной (т. е. поляризованной параллельно оси цилиндра). В этом случае поле удобно представить в виде совокупности цилиндрических волн (см. разд. 4.11). Предположим без потери общности, что падающее поле 
имеет вид плоской волны, распространяющейся в направлении 
т. е. перпендикулярно оси у. Полученные результаты можно обобщить на случай наклонного падения, заменяя волновое число 
вне цилиндра на 
а внутри цилиндра — на 
где 
угол между осью у и направлением распространения волны, а получаемые результаты справедливы для 
-полей [вместо ТЕ(ТМ)-полей] (см. гл. 8 настоящей книги).
