6.2. ДИФРАКЦИЯ НА КЛИНЕ

Рассмотрим в качестве первого случая клинообразную область (рис. 6.1), освещаемую плоской -волной (т. е. волной, вектор напряженности магнитного поля которой параллелен кромке клина), распространяющейся вдоль направления перпендикулярно границе препятствия, которое считается идеальным проводником:

В этом выражении знак плюс у показателя экспоненты соответствует распространению волны под углом в направлении к клину.

Следуя Зоммерфельду (см. работу [31], указанную в литературе к гл. 4 настоящей книги), суммарное поле (т. е. сумму падающего, отраженного и дифрагированного полей) можно записать в виде интеграла

вычисляемого по комплексному контуру (рис. 6.2). Угловой спектр имеет простые полюсные сингулярности и определяется из условия равенства нулю производной на гранях клина:

Поскольку этот интеграл можно взять по частям. Таким образом, получаем

Этому уравнению удовлетворяет любая функция такая, что для любых выполняются следующие условия: Одним из возможных

Рис. 6.1. Рассеяние падающей -волны на клине.

Рис. 6.2. Комплексный контур интегрирования при интегральном представлении поля в области клина [см. выражение (6.2.2)].

решений является

Мы видим, что функция имеет бесконечное число простых полюсов, расположенных в точках причем

Если заменить контур интегрирования двумя контурами наибыстрейшего спуска и КНС, проходящими из-за наличия множителя через точки и соответственно, то выражение (6.2.2) можно переписать в виде

где вычеты функции в полюсах, расположенных между КНС, и КНС:

Если угол является вещественным, то из выражения (6.2.6) следует, что полюсы лежат на вещественной оси. Таким образом, для полюсов расположенных между КНС, и КНС, справедливо неравенство С учетом этого разложение (6.2.7) можно представить в виде

где через обозначена ступенчатая функция Хевисайда. В соответствии с (6.2.9) поле включает в себя только те плоские волны, направление распространения которых ограничено углами в секторе Однако в пределе к поле должно сводиться к суперпозиции лучевых конгруэнций, каждая из которых своим появлением обязана отражениям падающей волны. Легко проверить, что поле, вычисленное в приближении геометрической оптики, совпадает с (6.2.9).

Поскольку выражение (6.2.9) для удовлетворяет граничным условиям и сводится к правильному виду в пределе естественно предположить, что это выражение правильно описывает поле и при конечных значениях k.

При интегралы по обоим контурам KHC и КНС могут быть заменены соответствующими вкладами от седловых точек. В результате мы имеем

здесь

представляет собой дифракционный коэффициент, вычисленный для случая, когда на клин падает -волна. Для -волны (т. е. волны, поляризованной параллельно кромке) соответствующий коэффициент можно получить из заменой минуса на плюс перед вторым членом в правой части выражения (6.2.11)

В случае когда полюс близок к какой-либо седловой точке, можно получить более точное представление поля, используя переходную функцию, рассмотренную в разд. 5.6.