6.10.2. Поле, дифрагированное на решетке

Рассмотрим периодическую цилиндрическую поверхность (дифракционную решетку), задаваемую функцией образующие которой параллельны оси у. Функция является периодической с периодом т.е. и характеризуется максимальным и минимальным значениями/макс и/мин. Представим себе, что функция описывает границу раздела двух сред 1 и 2 с различными показателями преломления Предположим, что нормаль к решетке направлена в ту среду, откуда приходит падающее излучение. Заметим, что данное направление противоположно тому, которое было принято выше при рассмотрении многослойных структур. Тем не менее именно такой выбор оказывается наиболее удобным, поскольку далее речь пойдет только об отражательных решетках, имеющих наибольшее распространение. Среда 2 характеризуется комплексным показателем преломления который для идеально проводящих металлов становится чисто мнимой величиной. Если влиянием конечной проводимости материала решетки на длинах волн больше можно пренебречь, то при длинах волн короче это влияние оказывается существенным, причем область считается переходной. В УФ-диапазоне вместо малоэффективного алюминиевого используются диэлектрические покрытия. Кроме того, решетки с диэлектрическим покрытием как спектральные селекторы используются в лазерах, на красителях для увеличения их КПД. Предположим, что из среды 1 на решетку под углом в падает плоская монохроматическая волна. Вектор напряженности

электрического поля в такой волне может быть направлен как вдоль (р-волна), так и поперек (-волна) штрихов решетки

Пусть произвольная скалярная составляющая падающего пучка с единичной амплитудой, соответствующая компонента дифрагированного поля. Если сместить начало координат вдоль оси х на величину (период решетки), то в новой системе координат падающий и дифрагированный лучи запишутся как

Здесь индексы «нов» и «стар» относятся к выражениям для поля соответственно в новой и старой системе координат. Поскольку в новой системе координат профиль решетки остается таким же падающие поля в новой и старой системе координат будут различаться фазовым множителем Таким образом,

Сравнивая выражения (6.10.36) и получаем

откуда следует, что является периодической функцией координаты с периодом

Прежде чем перейти к фурье-разложению поля остановимся на вопросе о граничных условиях на поверхности решетки. По аналогии с плоской границей раздела между двумя поверхностями (см. разд. 3.6) положим в среде 1 и в среде 2. Далее, если предположить, что плоскость падения перпендикулярна решетке (т.е. ) - условие, которое имеет место для решеток, используемых в монохроматорах, то мы можем выбрать для -волн и для -волн.

Приняв указанное выше соглашение, нетрудно доказать, что непрерывность тангенциальных составляющих поля дает следующие граничные условия для и:

В этих выражениях производные берутся в точках поверхности решетки В частности, если среда 2 представляет собой идеальный проводник, то записанные выше условия принимают более простой вид:

Вернемся к рассмотрению функции учитывая, что следовательно, являются периодическими функциями координаты х. Если проделать для оси у то же, что для оси то нетрудно показать, что функция и не зависит от у. Здесь можно заметить, что если функция и представляет собой -волну, то результирующее поле непрерывно вместе со своими производными, взятыми по поверхности решетки, откуда следует, что поле и можно разложить в ряд Фурье по координате

где искомые непрерывные функции. После подстановки данного разложения в волновое уравнение получаем

где

Умножая каждое из этих уравнений на где целое число, и интегрируя их по периоду находим следующее уравнение:

где

В частности, для косинусоидального профиля имеем

Таким образом, возникают три области определяемые соответственно условиями (область ) (область ) (область С). В областях А и С

функции тождественно равны нулю при так что для можно получить следующие выражения:

где Комплексные коэффициенты можно найти, если сшить функции на границах области В. Методы, используемые для решения приведенной выше системы дифференциальных уравнений, достаточно сложны и во всяком случае трудоемки. Подставим теперь полученные выражения для в фурье-разложение (6.10.7) и убедимся, что поле плоской волны, претерпевшей дифракцию на решетке, представляет собой бесконечный набор плоских волн, соответствующих различным порядкам дифракции. Конечный размер решетки приводит к уширению пика в каждом порядке, как показано схематически на рис. 6.19.