6.12. РАЗЛОЖЕНИЕ РАССЕЯННОГО ПОЛЯ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ

В качестве первого шага рассмотрим некоторую скалярную функцию которая представляет собой решение волнового уравнения Гельмгольца в определенной области:

где оператор

называется оператором Бельтрами для сферы с выражением (2.12.40)]. Оператору соответствует дискретный набор собственных функций называемых сферическими гармониками:

причем

а через обозначены присоединенные функции Лежандра первого рода, определяемые выражением

Функции представляют собой полиномы Лежандра, определяемые формулой Родрига

Четность полиномов Лежандра определяется четностью числа т.е. Кроме того, для полиномов Лежандра оказываются справедливыми следующие рекуррентные соотношения:

где штрих означает производную по

Поскольку на поверхности сферы сферические гармоники образуют полный ортогональный набор, а именно

скалярная волновая функция может быть разложена по этим функциям:

где

Пример. Скалярная плоская волна. Для скалярной волны распространяющейся вдоль полярной оси, выражение (6.12.10) дает

здесь дифференциальный оператор, получаемый подстановкой вместо аргумента в выражение для В выражении (6.2.11) функция записывается в виде

и называется функцией Риккати — Бесселя. Она обладает свойством регулярности в точке асимптотически стремится к После подстановки правой части выражения (6.12.11) в разложение (6.12.9) получаем формулу Бауэра: