8.4. МОДОВАЯ ТЕОРИЯ
Изучение общего решения уравнений Максвелла для цилиндрического волокна приводит к понятию распространяющейся моды, т. е. определенной конфигурации электромагнитного поля, зависящей от расстояния 
в направлении распространения как 
Рис. 8.8. Лучи, соответствующие направляемым и излучательным модам в волокне со ступенчатым профилем показателя преломления.
Направляемые (волноводные) моды — это такие распространяющиеся моды, у которых электромагнитная энергия сосредоточена, главным образом, в сердцевине на всем протяжении волокна.
Различие между волноводными и неволноводными модами, которое отсутствует в теории распространения в металлических волноводах, существенно для диэлектрических волноводов. Для того чтобы полностью описать электромагнитное поле в волокне, кроме дискретного спектра волноводных мод (соответствующего в геометрической оптике лучам, локализованным в ходе последовательных отражений внутри сердцевины), необходимо рассмотреть и непрерывный спектр излучательных мод (соответствующий лучам, пересекающим волокно при последовательных отражениях; рис. 8.8).
Распространение электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде в отсутствие зарядов и токов описывается уравнениями Максвелла (1.1.1)-(1.1.4) наряду с материальными уравнениями (1.1.6) и (1.2.3). Обратите внимание на то, что в нестационарном случае 
последние два уравнения Максвелла (1.1.3) и (1.1.4) являются следствиями первых двух, что можно сразу доказать, применяя оператор V к обеим частям уравнений (1.1.1) и (1.1.2) и используя векторное тождество 
(см. приложение А в конце книги). Поэтому в дальнейшем достаточно будет рассматривать лишь уравнения
Рис. 8.9. Система координат, применяемая при изучении распространения мод в цилиндрических структурах.
(1.1.1) и (1.1.2) вместе с условиями непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на поверхности разрыва диэлектрической проницаемости 
Будем искать решения в виде монохроматических волн
Рассмотрим наиболее общую цилиндрическую структуру, в которой ось 
параллельна образующей цилиндра, а в поперечном сечении определим криволинейную систему координат 
(рис. 8.9). Если диэлектрическая проницаемость 
зависит только от поперечных координат и 
то из соображений симметрии решения можно записать в виде
Дифференциальный оператор V удобно выразить в виде суммы поперечной и продольной составляющих:
Из уравнений (1.1.1) и (1.1.2) и материальных уравнений получаем
Как станет видно в дальнейшем, постоянная 
может принимать толысо некоторые дискретные значения (собственные значения), зависящие от граничных условий, налагаемых волноводной структурой. Если записать электрические и магнитные поля в виде суммы поперечных и продольных составляющих
то после алгебраических преобразований можно выразить поперечные компоненты полей через их продольные составляющие:
Таким образом, возникает задача нахождения выражений для продольных компонент 
электрического и магнитного полей. В соответствии с выражением (2.8.1) продольная компонента электрического поля подчиняется следующему уравнению:
а соответствующая магнитная компонента — уравнению
Эти уравнения можно переписать в виде
если предположить, что 
меняется незначительно на расстояниях порядка длины волны.
