6.4. ДИФРАКЦИЯ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ

Для иллюстративных целей начнем рассмотрение с двумерной дифракционной задачи на примере однородного диэлектрического цилиндра, протяженного на бесконечно большое расстояние вдоль оси у. Будем считать, что поле и не зависит от координаты у. В этом случае для компоненты поля, параллельной оси цилиндра, для ТЕ-волны и Ну для ТМ-волны) мы имеем уравнение

где функция когда точка лежит внутри цилиндра, и в противном случае, показатель преломления, не зависящий от поперечных координат.

На границе цилиндра С в случае ТЕ-волны функция и и ее градиент непрерывны, в то время как в случае ТМ-волны непрерывными являются тангенциальные составляющие поля и его нормальная производная, деленная на квадрат показателя преломления.

Выведем выражение для поля и внутри и снаружи цилиндра при падении на него плоской волны Для этого приведем уравнение (6.4.1) к интегральному виду, рассматривая его правую часть в качестве источника:

поперечное сечение диэлектрического цилиндра, двумерная функция Грина для случаях [см. уравнение (4.7.5)]. Для решения интегрального уравнения (6.4.2) в задачах рассеяния на диэлектриках разработан метод итераций [6]. В первом порядке этого приближения сначала вычисляется поле внутри цилиндра, а рассеянное поле затем находят с помощью эквивалентных объемных токов в диэлектрической области в предположении, что излучение происходит в неограниченном пространстве [см. разд. 6.8, уравнение (6.8.2)].

Если положить и обозначить через оператор линейной свертки, определяемой выражением

то уравнение (6.4.2) можно переписать в операторном виде

Это интегральное уравнение Фредголъма (см. работу Трикоми [26], указанную в литературе к гл. 7), определяемое в области и имеющее в качестве ядра следующую функцию:

которая является сингулярной в точках или

Решения уравнения (6.4.2) существуют почти всегда, за исключением случаев с конкретными значениями соответствующими колебательным модам диэлектрического цилиндра. В этих случаях уравнение (6.4.2) имеет ненулевое решение пръих

Если показатель преломления диэлектрического препятствия слабо отличается от показателя преломления окружающей среды, т. е. то уравнение (6.4.4) можно переписать в виде

Это приближенное соотношение известно как формула Рэлея — Ганса. Иногда ее называют формулой Борна, который широко применял это уравнение для решения задач о рассеянии частиц на центральном потенциале. Если не является малым параметром, то член в уравнении (6.4.5) должен быть заменен на где поле, найденное в приближении геометрической оптики.