8.15. ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ МОД

В оптическом волокне взаимодействие между различными модами [приводящее в выражении (8.10.8) к зависимости коэффициентов от координаты обусловлено отклонениями геометрической формы оптического волокна от идеальной цилиндрической. Такое взаимодействие приводит к взаимной передаче мощности от одной моды к другой, так что мощность в моде является некоторой суммой первоначальных мощностей различных мод, а скорость распространения моды по световоду равна некоторой величине, усредненной по ансамблю скоростей возбуждаемых мод, взятых с определенными весовыми

коэффициентами. Как и следовало ожидать, этот эффект является благоприятным и с точки зрения дисперсии, которая стремится к уменьшению при взаимодействии мод. Однако взаимодействие мод отрицательно сказывается на потерях, поскольку ведет к постоянно нарастающей перекачке мощности от направляемых мод в радиационные, что в итоге приводит к уходу излучения из волокна.

В подавляющем большинстве случаев взаимодействие между модами носит случайный характер, так как неоднородности в волокнах прямо связаны со случайными отклонениями в процессе изготовления и сборки волноводной структуры. Именно поэтому, а также вследствие того, что даже при известном механизме возмущения задача о распространении взаимодействующих мод аналитически разрешима лишь в очень небольшом числе случаев, эту задачу решают с помощью статистических методов.

Прежде чем рассмотреть конкретную статистическую модель, необходимо найти систему уравнений, описывающих изменение коэффициентов [см. выражение (8.10.8)] при наличии заданного взаимодействия. Если выбрать, например, слабонаправляющие волокна и пренебречь взаимодействием между модами, распространяющимися в противоположных направлениях, то можно показать, что для амплитуд направляемых мод, распространяющихся вперед, справедлива следующая система уравнений [1]:

где общее число направляемых мод, а

В выражении (8.15.2) через обозначен коэффициент преломления реального волокна, в то время как через обозначены соответственно показатель преломления и поперечные компоненты мод идеального волокна. При записи уравнений (8.15.1) пренебрегалось взаимодействием с континуумом радиационных мод, так что в этом приближении общая мощность направляемых мод сохраняется. Кроме того, предполагалось, что для любого реальные оптические волокна слабо отличаются от идеальных (рис. 8.21) и, следовательно, электромагнитное поле можно по-прежнему разлагать по модам идеального волокна. В более общем случае, например когда ось оптического волокна отклоняется от прямолинейной (так называемые микроизгибы; см. рис. 8.22), упомянутое разложение оказывается

неверным. В данном случае удобно ввести набор «локальных» мод, относящихся хотя и к идеальному случаю, но все же для любого сильно напоминающих реальную картину. С учетом сделанных замечаний, переписывая систему уравнений (8.15.1) и выражение (8.15.2) для пространственных конфигураций и соответствующих им постоянных распространения (зависящих от координаты получаем соответственно

здесь относятся к системе координат идеального волокна.

Искажения, подобные изображенным на рис. 8.21, можно учесть, записав расстояние между границей раздела сердцевина — оболочка и осью волокна в виде

Влияние же микроизгибов (рис. 8.22) можно учесть через величину получаемую из подстановкой вместо величины

где функции, определяющие расстояния осей соответственно х и у от оси реального волокна.

Рис. 8.21. Деформация волокна на границе раздела сердцевина — оболочка (качественное представление).

Рис. 8.22. Микроизгибы волокна.

Используя соотношение

и выражение (8.15.6), мы находим (в низшем порядке теории возмущений), что микроизгибы могут приводить к связи только тех мод, для котрых справедливо следующее правило отбора:

где соответстующие азимутальные числа. В случае когда параметры возмущения определяются выражением (8.15.5), выполняется правило отбора

где определяется номером соответствующего члена в сумме выражения (8.15.5), связывающего моды с азимутальными числами

Системы уравнений (8.15.1) и (8.15.3) имеют аналитические решения лишь в ограниченном числе случаев, а именно тогда, когда рассматриваются только самые простые отклонения формы волокна от идеальной и взаимодействуют всего несколько мод. Если ввести в рассмотрение статистическую модель, то задача о распространении мод в оптических волокнах с учетом межмодового взаимодействия становится аналитически разрешимой в гораздо большем числе случаев, однако при этом мы получаем лишь «усредненные» величины. Точнее говоря, мы рассматриваем ансамбль макроскопически идентичных волокон, отличающихся друг от друга случайными микроскопическими дефектами, и вычисляем значимые физические величины, усредненные по этому ансамблю, которые мы будем обозначать с помощью угловых скобок Если применить операцию усреднения к системам уравнений (8.15.1) или (8.15.3), то мы получим следующую систему уравнений для средней мощности моды [см. выражение (8.14.1)] [1, 19]:

где феноменологически введенный общий коэффициент потерь моды, а

причем аналогичное выражение можно записать и для случая, когда вместо используется

Корреляционной длиной стохастической переменной

[или ] называется максимальная длина отрезка волокна, на котором корреляционная функция не равна нулю. Таким образом, корреляционная длина определяет средний пространственный период дефектов отдельного оптического волокна. При выводе системы уравнений (8.15.10) предполагалось, что значения коэффициентов на длине существенно не меняются (гипотеза слабой связи).

Межмодовая связь приводит к возникновению потерь, которые можно описать в рамках механизма, связывающего направляемые и радиационные моды. Эти потери прибавляются к потерям, связанным с поглощением и рассеянием излучения в волокне и учитываемом в уравнениях (8.15.10) с помощью коэффициентов затухания Сделав соответствующие предположения относительно вида коэффициентов потери 71? обусловленные взаимодействием мод, можно найти, если решение системы уравнений (8.15.10) для стационарного случая искать в следующем виде:

Как уже упоминалось выше, взаимодействие между модами нарушает дисперсию мод, что можно подтвердить, решив систему уравнений (8.15.10). Хотя эта система уравнений в общем случае неразрешима, можно прийти к простому описанию, исследуя асимптотическое поведение временной ширины импульса, имеющего пренебрежимо малую начальную ширину. Если общая мощность, проходящая через данное сечение волокна, то определив величины

и

можно записать, что

Для больших можно показать, что

в то время как для малых мы имеем

Выражения (9.15.17) и (8.15.16) описывают два различных предельных случая. В первом случае расстояния столь малы, что межмодовым взаимодействием можно пренебречь, поэтому зависимость

Рис. 8.23. Зависимость временной ширины импульса от расстояния вдоль оси пройденного им в оптическом волокне при наличии межмодового взаимодействия. (Из книги Окоси

дисперсии от длины волокна является линейной. Во втором случае, когда волокно имеет большую длину, межмодовым взаимодействием пренебречь уже нельзя, отсюда появляется более слабая по сравнению с первым случаем зависимость дисперсии от расстояния (рис. 8.23). Эта зависимость от в виде квадратного корня может быть эвристически объяснена с помощью простой модели, в которой рассматриваются всего две моды [20], связанные между собой таким образом, что вероятность того, что фотон, принадлежащий одной моде, перепрыгнет в другую на расстоянии равна причем не зависит от При этом эволюцию импульса можно описать с помощью механизма случайных блужданий, согласно которому на отрезке фотон распространяется со скоростью или так что среднее время его пролета дается выражением

а задержка относительно этого времени пролета запишется в виде

Согласно общей теории диффузионных процессов, среднеквадратичное значение суммарной задержки равно квадрату задержки на отдельном шаге длиной умноженному на число шагов на расстоянии Таким образом, мы имеем

Это выражение согласуется с (8.15.16)